等比数列习题课-课件.ppt

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1、求数列的通项公式【名师指津】累加法求数列的通项公式.对于数列{an}，若an+1-an=f(n+1)，则a2-a1=f（2）a3-a2=f（3）a4-a3=f（4）……an-an-1=f（n）各等式相加得:an-a1=f（2）+f（3）+f（4）+…+f（n）∴an=f（2）+f（3）+f（4）+…+f（n）+a1.此方法称为累加法.若f（n）是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和.【特别提醒】应用累加法的最终目的是求an,因此要注意n的取值范围，防止出现累加相消后求an+1或an-1的

2、情况.【例1】已知数列{an}中，a1=7，a2=9，前n项和Sn满足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1（n≥3），试求数列{an}的通项公式.【审题指导】由题目中给出的Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1（n≥3），可得出an与an-1的关系式，再进一步求an即可.【规范解答】由Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1（n≥3）得Sn-Sn-1=Sn-1-Sn-2+2n-1（n≥3）.∵an=Sn-Sn-1∴an=an-1+2n-1（n≥3）.即an-an-1=2n-1（n≥3）.又a2-a1=

3、9-7=2∴an-an-1=2n-1（n≥2）.∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+（an-2-an-3）+…+（a2-a1）+a1=2n-1+2n-2+…+21+7=+7=2n+5.故数列{an}的通项公式为an=2n+5.【互动探究】在本例中若条件改为a1=9，a2=11，其他条件不变，又该如何求通项公式呢？【解题提示】由Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1（n≥3），得出an与an-1的关系式，再进一步求an.【解析】由Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1（n≥3）得Sn-

4、Sn-1=Sn-1-Sn-2+2n-1（n≥3）.∵an=Sn-Sn-1，∴an=an-1+2n-1（n≥3）.即an-an-1=2n-1（n≥3）.又a2-a1=11-9=2,∴an-an-1=2n-1（n≥2）.∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+21+9=+9=2n+7.故数列{an}的通项公式为an=2n+7.等比数列的证明【名师指津】等比数列证明的常用方法.（1）定义法（2）等比数列的性质和常用结

5、论（3）构造新数列法【例2】若数列{an}首项为1，且2an+1-an=2，求证：数列{an-2}是等比数列.【审题指导】题目中给出了a1的值以及2an+1-an=2这一关系式，欲证明数列{an-2}是等比数列，需利用2an+1-an=2进行适当变形，构造出an+1-2=k（an-2）的形式.【规范解答】由2an+1-an=2，得an+1=an+1，∴an+1-2=（an-2），而a1=1，故an-2≠0，∴又a1-2=-1，∴数列{an-2}是首项为-1，公比为的等比数列.【典例】(12分)（

6、2011·山东高考）等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足：bn=an+（-1）nlnan,求数列{bn}的前n项和Sn.【审题指导】由题目表中的数据，可确定数列{an}的首项和公比，故可求数列{an}的通项公式；欲求数列{bn}的前n项和Sn，需从bn=an+（-1）nlnan入手，利用拆项分组求和的方法进行即可.【规范解答】（1）当a1=3时，不合题意

7、；当a1=2时，当且仅当a2=6，a3=18时，符合题意；当a1=10时，不合题意；……………………2分因此a1=2，a2=6，a3=18.所以公比q=3.故an=2·3n-1.………………………………………4分（2）因为bn=an+（-1）nlnan=2·3n-1+（-1）nln（2·3n-1）=2·3n-1+（-1）n[ln2+（n-1）ln3]=2·3n-1+（-1）n（ln2-ln3）+（-1）nnln3,…………6分所以Sn=2（1+3+…+3n-1）+[-1+1-1+…+（-1）n]

8、（ln2-ln3）+[-1+2-3+…+（-1）nn]ln3……………8分所以当n为偶数时，Sn=2×+ln3=3n+ln3-1；当n为奇数时，Sn=2×-（ln2-ln3）+（-n）ln3=3n-ln3-ln2-1.……………………………………10分综上所述，Sn=……………………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】在本例条件不变的情况下，求数列{bn}的前2n项和S2n.【解析】由典例解答可知，bn=2·3n-1+（-1）n（ln2-ln3）+（-1）nnln3