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1、第八讲质点的角动量与角动量定理质点的角动量守恒定律交练习大小M=Fd=Frsinθ力矩单位牛顿米(N·m)量纲方向右手定则yxzOd一、力矩的一般意义右手定则四指由矢径通过小于180º的角度转向力的方向，姆指指向就是力矩的方向。力矩(momentofforce)代入力矩定义中,得可见,合力对某参考点O的力矩等于各分力对同一点力矩的矢量和。如果作用于质点上的力是多个力的合力,即二、力对轴的力矩质点P的位置矢量和作用力可表示为，则在以参考点O为原点的直角坐标系中,表示为分量式力矩沿某坐标轴的分量通常称作力对该轴的力矩。一、角动量大小l＝rmvsin方向右手螺旋定则判定单位kgm2/s量纲：ML
2、2T-1设质点的质量、位矢、速度和动量分别为。质点相对参考点O的角动量定义为moθpxyzO））角动量(angularmomentum)质点对通过参考点O的任意轴线Oz的角动量lz,是质点相对于同一参考点的角动量l沿该轴线的分量。如果质点始终在Oxy平面上运动,质点对Oz轴的角动量与对参考点O的角动量的大小是相等的,即xyzpo））lz注意面对z轴观察,由方向沿逆时针转向mv的方向所形成的角才是角。另外，作圆周运动的质点的角动量例1：一质量为m的质点沿着一条空间曲线运动，该曲线在直角坐标下的矢径为：，其中a、b、皆为常数，求该质点对原点的角动量。l=mrv解：已知o二、角动量定理(the
3、oremofangularmomentum)角动量，两边求导角动量其中令为合外力对同一固定点的力矩。大小；M＝rFsin(为矢径与力之间的夹角)方向：右手螺旋定则。单位：Nm量纲：ML2T-2mo角动量定理：质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。如果质点始终在Oxy平面上运动,可得到Mz若作用于质点的合力对参考点的力矩,由，得恒矢量即若作用于质点的合力对参考点的力矩始终为零,则质点对同一参考点的角动量将保持恒定。注意：1.这也是自然界普遍适用的一条基本规律。2.=0，可以是=0,也可以是=0,还可能是与同向或反向，例如有心力情况。质点的角动量守恒定律如果作用于质点的合力矩不为零,而合力
4、矩沿Oz轴的分量为零,则恒量(当Mz=0时)当质点所受对Oz轴的力矩为零时,质点对该轴的角动量保持不变。此结论称为质点对轴的角动量守恒定律。例2：行星运动的开普勒第二定律认为,对于任一行星,由太阳到行星的径矢在相等的时间内扫过相等的面积。试用角动量守恒定律证明之。解:将行星看为质点,在dt时间内以速度完成的位移为,矢径在dt时间内扫过的面积为dS（图中阴影）。根据质点角动量的定义则om·矢径在单位时间内扫过的面积（称为掠面速度）万有引力属于有心力,行星相对于太阳所在处的点O的角动量是守恒的,即=恒矢量,故有恒量行星对太阳所在点O的角动量守恒,不仅角动量的大小不随时间变化,即掠面速度恒定,而且
5、角动量的方向也是不随时间变化的,即行星的轨道平面在空间的取向是恒定的。角动量守恒定律应用举例角动量定恒2.AVI直升飞机为什么要安装反向双旋翼？演示仪为什么在拉线的作用下会转动起来？体操运动员的“晚旋”茹科夫斯基凳实验芭蕾花样滑冰跳水请看:猫刚掉下的时候，由于体重的缘故，四脚朝天，脊背朝地，这样下来肯定会摔死。请你注意，猫狠狠地甩了一下尾巴，结果，四脚转向地面，当它着地时，四脚伸直，通过下蹲，缓解了冲击。那么，甩尾巴而获得四脚转向的过程，就是角动量守恒过程。为什么猫从高处落下时总能四脚着地？例3：质量为m的小球系于细绳的一端,绳的另一端缚在一根竖直放置的细棒上,小球被约束在水平面内绕细棒旋转
6、,某时刻角速度为1，细绳的长度为r1。当旋转了若干圈后,由于细绳缠绕在细棒上,绳长变为r2,求此时小球绕细棒旋转的角速度2。解：小球受力绳子的张力,指向细棒；重力，竖直向下；支撑力,竖直向上。与绳子平行,不产生力矩；与平衡，力矩始终为零。所以,作用于小球的力对细棒的力矩始终等于零,故小球对细棒的角动量必定是守恒的。根据质点对轴的角动量守恒定律式中v1是半径为r1时小球的线速度,v2是半径为r2时小球的线速度。代入上式得解得可见,由于细绳越转越短,,小球的角速度必定越转越大,即。而例4：半径为R的光滑圆环上A点有一质量为m的小球，从静止开始下滑，若不计摩擦力，求小球到达B点时的角动量和角速
7、度。解：小球受重力矩作用，由角动量定理：θABPR利用初始条件对上式积分：本题也可以用质点的功能原理求解。得到：
