第十一章：无穷级数、第二节：常数项级数的审敛法ppt课件.ppt

《第十一章：无穷级数、第二节：常数项级数的审敛法ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第二节常数项级数的审敛法如果级数满足条件：称为正项级数定理1:正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列有界。（一）正项级数及审敛法定理2（比较审敛法）如果两个正项级数（1）若（2）若证：设较大一般项对应的级数收敛，则较小一般项对应的级数也一定收敛。较小一般项对应的级数发散，则较大一般项对应的级数也一定发散。和满足关系式收敛，则也收敛，发散，则也发散。（1）若则由定理1知,因此所以级数（2）若则由定理1知,因此所以级数推论：如果正项级数则定理2中的结论仍然成立。定理1:正项级数收收敛的充分必要条件是：它的部分和数列有界。收敛，也有界，收敛；发散，也无界，发散；和从某项N之后满足关系式

2、:例1：判定调和级数的敛散性。解：取因此有发散，取例2：讨论p—级数的敛散性解：（1）（2）当p>1时，例2：讨论p—级数的敛散性解：（2）当p>1时，即例2：讨论p—级数的敛散性解：（2）当p>1时，即有界，所以部分和数列因此级数收敛。结论：p—级数当p>1时收敛；当p1时发散。例3：证明级数证明：发散，是发散的。而级数所以由比较审敛法例4：判别级数解：的收敛性。所以所以原级数为正项级数。取而是收敛的几何级数，所以，是收敛的。（1）若（2）若且收敛，和则有相同的收敛性。则也收敛;（3）若且发散，则也发散;定理3（比较审敛法的极限形式）设和都是正项级数，0,收敛和有相同的收敛性。收敛

3、;发散也发散;注意：若发散，不一定发散。定理3（比较审敛法的极限形式）设和都是正项级数，例5：判别级数解：发散，的收敛性。和有相同的收敛性，发散例6：判别级数解：的收敛性。收敛且由比较审敛法的极限形式知，收敛。0,收敛和有相同的收敛性。收敛;发散也发散;定理3设和都是正项级数，（1）取则发散，因此若（或为+），则发散0,收敛和有相同的收敛性。收敛;发散也发散;定理3设和都是正项级数，（2）取则收敛，因此若收敛。则定理6（极限审敛法）设是正项级数，（1）如果（或为+),发散；则（2）如果收敛。则级数例如级数当n时，故所给级数收敛说明：（1）使用比较审敛法（包括推论或极限形式），

4、需选取一个适当的、收敛性为已知的级数作为比较对象。（2）常用的比较对象有：等比级数、P-级数和调和级数。（3）比较对象的选取有时比较困难。定理4（比值审敛法，达朗贝尔判别法）如果正项级数的后项与前项之比的极限为：，则（1）当<1时，级数收敛；（2）当>1（或为）时，级数发散；（3）当=1时，不能用此法判定级数的敛散性。比值审敛法的优点：无须寻找比较对象，直接利用级数自身的一般项，因此使用直观方便。因为所以由极限的定义可知证明：（1）当<1,存在自然数m,是收敛的几何级数（0

5、的，但也有例2：判定级数解：因为x>0，故所讨论的级数为正项级数。当0<<1时，当x=1时，级数成为发散。的收敛性。当>1，即x>1时，发散；即01（或为）时，级

6、数发散；（3）当=1时，不能用此法判定级数的收敛性。同比值审敛法一样，根值审敛法也有使用直观方便的优点。比值审敛法与根值审敛法均要求所用到的极限存在，且不等于1。例5：判定下列级数的收敛性。解：因为所以由根值判别法知，级数收敛由两边夹法则例5：判定下列级数的收敛性。解：因为所以根值判别法失效所以所给级数发散。比值判别法与根值判别法的比较：（1）适用对象若一般项中含有因子则一般考虑用比值法，若一般项中含有因子则一般考虑用根值法，（2）适用范围若用根值法失效，即则用比值法也一定失效，即此时必有反之不成立。（3）一般来说，比值法运算简单，根值法适用范围大。例6：判定级数解：因为且含有因子（

7、1）当0e，时，所给级数发散；例6：判定级数解：因为且含有因子的收敛性。（3）当a=e，时，所以所给级数发散。例7：证明证明：考察级数所以所考察级数收敛；因此，即（二）交错级数及其敛散性判别法定义：正负项相间的级数，称为交错级数。可以写成下面两种形式：其中定理7（莱布尼兹定理）如果交错级数满足条件：则交错级数收敛，其和余项满足说明：1.莱布尼兹定理的条件（1）不是必要条件（条件（2）是必要的）。