简单的超越不等式.doc

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1、第49课简单的超越不等式●考试目标主词填空1.指数不等式通过同底法或换元法转化为同解的代数不等式求解.a>1时,af(x)>ag(x)f(x)>g(x);0ag(x)f(x)1时,logaf(x)>logag(xf(x)>g(x)>0;0logag(x)0

2、解，两者比较，“图像法”易于操作，操作程序如下：在同一坐标系中同时作出两个函数y1=sinx(0≤x≤2π)及y2=a(或b)(0≤x≤2π)图，得出满足x∈［0,2π］的不等式的解，然后利用函数的周期性，得出原不等式的解.②形如:cosx≥a,cosx≤b及a≤cosx≤b的不等式，除了使用单位圆求解之外，还可以用“图像法”求解，两者比较，“图像法”易于掌握，求解程序如下：在同一坐标系中同时作出两个函y1=cosx及y2=a(或y3=b),的图像，先得出满足条件x∈的不等式的解，然后利用函数的周期性得出原不等式的解.③形如

3、:tanx≥a,tanx≤b及a≤tanx≤b的不等式,有直接的结论可用:tanx≥a的解集是:.tanx≤b的解集是:.a≤tanx≤b的解集是:［kπ+arctana,kπ+arctanb］,k∈Z.●题型示例点津归纳【例1】解下列对数、指数不等式:(1)9x-3x-2<0;(2)(log23x)2+(log23x)-2≥0;(3)2x·log2x+2x-log2x-1<0.【解前点津】(1)视3x为新变量，可因式分解,(2)视log23x为新变量对象，同样可因式分解，(3)分组分解因式，讨论求解.【规范解答】(1)化原不等

4、式为:(3x+1)·(3x-2)<0,∵3x+1>0恒成立,故原不等式可化为:3x-2<0即3x<2x

5、，通过因式分解，化简了超越不等式，回归到指数不等式，对数不等式的“原始模型”，最后得出原不等式的解.【例2】解下列三角不等式(1)sin2x>;(2)cosx≤-;(3)tan2004x≥-1;(4)-≤sin(3x-)≤.【解前点津】利用基本函数y=sint.y=cosx的图像求解.【规范解答】(1)令2x=t,则sint>,在同一坐标系中作函数y1=sint(0≤t≤2π)及y2=(0≤t≤2π)的图像,容易算出两函数图像交点的横坐标分别是.故当t∈［0,2π］时,有:.从而当t∈R时有2kπ+,即:2kπ+,解之:kπ+,

6、k∈Z.(2)在同一坐标系中作函数y1=cosx在的图像,及函数y2=-的图像.当cosx=-时,x=.故当-π≤x≤π时,cosx≤-的解为:π≤x≤π原不等式的解为2kπ+π≤x≤2kπ+π,k∈Z.(3)当tan2004x=-1且-π<2004x<π时,2004x=-π.故由kπ-π≤2004x

7、下几段:故由0≤t≤得在R上x满足:2kπ≤3x-π≤2kπ+π,或2kπ+π≤3x-π≤2kπ+π,或2kπ+π≤3x-π≤2kπ+2π.故原不等式解集为:(k∈Z).【解后归纳】利用图像法解三角不等式，关键是利用了函数的周期性，先在一个周期内确定不等式的解,然后得出原不等式的整个解集，这叫做“化难为易”.【例3】求下列函数的定义域:(1)y=;(2)y=.【解前点津】先列出不等式，再化简不等式，最后求解不等式.【规范解答】(1)由1-sin2x-cos2x≥0得sin2x+cos2x≤1sin(2x+π)≤,令t=2x+

8、π,得sint≤.当t∈［0,2π］时,由sint=得,t=π及π.故当t∈［0,2π］时,由sint≤得:0≤t≤π或π≤t≤2π2kπ≤2x+π≤2kπ+π或:2kπ+π≤2x+π≤2kπ+2π，解之:kπ-π≤x≤kπ或kπ+π