第九章--拉普拉斯变换教案.doc

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1、课题（项目）Laplace变换的概念课时2课地点阶东1-2授课时间2012年4月9日，第9周，周一第1-2节教学目标方法手段教学目标：1、理解Laplace变换的定义，掌握常用函数的拉氏变换表，会利用拉氏变换定义求解简单函数的拉氏变换，能较为熟练地运用常用函数的拉氏变换表求解函数的拉氏变换。2、理解并掌握单位阶梯函数及其性质，掌握自动控制系统中常用的两个函数的拉氏变换教学方法：课堂讲授，讨论与练习相结合教学手段：讲授板书，多媒体重点难点教学重点：掌握部分分式法求Laplace逆变换。教学难点：分解成分式之和，

2、用位移性质求Laplace逆变换，求Laplace逆变换。教学过程与内容拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用．本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用．一、引入在代数中，直接计算是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为，然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数．这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法。

3、二、新课讲授9.1.1拉氏变换的基本概念定义设函数当时有定义，若广义积分在的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为的函数，记作，即（9-1）称（7-1）式为函数的拉氏变换式，用记号表示．函数称为的拉氏变换(Laplace)(或称为的象函数)．函数称为的拉氏逆变换（或称为象原函数），记作，即。关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：(1)在定义中，只要求在时有定义．为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在时，。（2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数是在复数范围内取值．为了方便起见，本章我们把作为实数来讨

4、论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用。（3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换．一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的。例9-1求一次函数（为常数）的拉氏变换。解。例9-2求指数函数（为常数）的拉氏变换．解，即．；。类似可得：9.1.2常用函数的拉氏变换表问题：计算函数的拉氏变换。知道，如果还是用拉氏的定义来计算，整个计算会比较复杂，而且有些还比较困难。为了运算的方便，我们给出常用函数的拉氏变换表。通过PPT展示常用函数的拉氏变换表。三、应用举例例9.

5、4求（1），（2）的拉氏变换。例9.5求。例9.6求的拉氏变换。9.1.3自动控制系统中常用的两个函数1、单位阶梯函数（单位阶跃函数）1)单位阶梯函数的定义函数称为单位阶梯函数（单位阶跃函数）。把分别平移个单位，则有，，当时，将这两式相减得2）单位阶梯函数的性质单位阶梯函数具有：3）单位阶梯函数的拉氏变换：例9.7单位阶梯函数的拉氏变换。解，．2、单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为)进入一单位电量的脉冲，

6、现要确定电路上的电流，以表示上述电路中的电量，则由于电流强度是电量对时间的变化率，即，所以，当时，；当时，。上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强度．为此，引进一个新的函数，这个函数称为狄拉克函数。1）定义设，当0时，的极限称为狄拉克（Dirac）函数，简称为函数．当时，的值为；当时，的值为无穷大，即．和的图形如图9-1和图9-2所示（图略）。显然，对任何，有，所以．工程技术中，常将函数称为单位脉冲函数，有些工程书上，将函数用一个长度等于的有向线段来表示（如图7-2所示），

7、这个线段的长度表示函数的积分，叫做函数的强度．2）狄拉克函数拉氏变换．例9-2求的拉氏变换．解根据拉氏变换的定义，有，即。三、课堂小结并布置作业作业P.1343、（1）（2）（5）教学小结理解拉氏变换的概念，熟记常用函数的拉氏变换表课题（项目）Laplace变换的性质课时2课地点阶东1-2授课时间2012年4月11日，第9周，周三，第5-6节教学目标方法手段教学目标：掌握Laplace变换的性质，重点掌握Laplace变换的线性性质，微分性质，位移性质。利用Laplace变换的性质求逆变换。教学方法：课堂讲授

8、教学手段：板书，多媒体重点难点教学重点：重点掌握Laplace变换的线性性质，微分性质，位移性质。教学难点：微分性质，位移性质，求逆变换。教学过程与内容1.Laplace变换的线性性质，相似性质，微分性质，位移性质，积分性质。2.利用常用函数Laplace变换及性质求逆变换。3.利用微分性质推导4.例1：解微分方程：例2：求的Laplace变换例3：求的Laplace变换例4：求的Laplace变换