第一课时正弦定理教案.doc

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1、1.1.1正弦定理教案一.课题导入BCA如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二.讲授新课[探索研究]在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，CAB有，，又,则从而在直角三角形ABC中，思考1：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形

2、和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，（1）当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则，C同理可得，ba从而AcB（2）当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生自己推导）思考2：还有其方法吗？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这问题。（证法二）：过点A作单位向量，由向量的加法可得则CABj∴∴，即同理，过点C作，可得，从而从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正

3、数，即存在正数k使，，；（2）等价于，，思考：正弦定理的基本作用是什么？①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。[例题分析]题型一正弦定理的简单运用先看课本上的例1。补例1．在中，已知，，cm，解三角形。解：根据三角形内角和定理，；根据正弦定理，；根据正弦定理，评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。练习：在中，已知下列条件解三角形。（1），，，（2），，补例2．在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精

4、确到1cm）。解：根据正弦定理，因为＜＜，所以，或⑴当时，，⑵当时，，应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。课堂练习第6页练习第1题。题型二正弦定理的综合运用先看课本例2。补例3，试求解：思考题：1、P6第二题。在ABC中，，这个k与ABC有什么关系？2、探索与研究课堂练习：第6页练习B第2/3题回过头来看课本的例一中四个小题，跟学生讨论已知两边和其中一边的对角解三角形时解得情况：例（1）在△ABC中，已知求C、B和b；（结果保留两位小数）（2）在△ABC中，已知求C、B和b。（结果保留两位小数）①、指导学生画出草图：ABCABC2

5、C1指导：如何作图ⅰ、点A、B、C的位置；ⅱ、边a位置不定，仅有长度，如何表示？②、解答过程：（略）几个要注意的地方：I、第一小题中由精确度考虑，用正弦定理求b时应该用∠A=30°，而不应用∠C≈53.13°，以避免二次近似可能带来的误差。II、用正弦定理求角，必须要讨论，但这里利用“大边对大角”显得更为简洁。III、最后写答句的时候，应注意层次分明。反思：有几种方法可以判断角的个数？I、大边对大角；II、两角和是否小于180°；III、在△ABC中，A＞B的充要条件是sinA＞sinB。例2。当A=30°，c=8，a=1时，△ABC有解吗？（无解）。提

6、出问题：能否在计算之前就得到解的个数呢？（教师暗示：参考前面草图。）指出：当∠A确定时，解的个数由a、c的大小关系决定。CBAcaa直观图法：问题：若∠A（锐角）、边c确定，则边a的长至少为多少，△ABC才有解？（a≥c·sinA）指出：边a的另一端点C在以B为圆心，a为半径的圆上。此时，圆与射线l相切或相交。边a的长在什么范围内，△ABC有两解？（c>a>c·sinA）此时，圆与射线l有两个交点。边a的长在什么范围内，△ABC有且仅有一解？(a≥c或a=c·sinA)此时，圆与射线l有且仅有一个交点。边a的长在什么范围内，△ABC无解？（a

7、A）此时，圆与射线l没有交点。再问：当∠A为钝角或直角时情况又如何？lCBAlCBAa>c：一解。a≤c：无解。理由：大边对大角。练习：在△ABC中，已知则当c在什么范围内时，b无解？有一解？有两解？已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解或一解（见图示）CBAcabbaCABaBACbB2aCAB1ba一解两解一解一解三.课时小结（由学生归纳总结）（1）定理的表示形式：或，，（2）正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角；②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。（3）已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解或一解（见图示）CBAcabba

8、CABaBACbB2aCAB1ba一解两解一解一解四、课后练习：B.5．自我提高