第一章充分条件、必要条件与命题的四种形式.doc

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1、§1.3　充分条件、必要条件与命题的四种形式2014高考会这样考　1.考查对充分条件、必要条件、充要条件的理解应用，主要以客观题形式出现；2.和其他数学知识相结合，考查充要条件的推理判断和命题的等价性．复习备考要这样做　1.在解与命题有关的问题时，要理解命题的含义，准确地分清命题的条件与结论；2.注意条件之间关系的方向性、充分条件与必要条件方向正好相反；3.注意等价命题的应用．1．充分条件、必要条件与充要条件(1)“若p，则q”形式的命题为真时，记作p⇒q，称p是q的充分条件，q是p的充要条件．(2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的

2、充要条件，q也是p的充要条件．p是q的充要条件又常说成q当且仅当p，或p与q等价．2．命题的四种形式及真假关系互为逆否的两个命题等价(同真或同假)；互逆或互否的两个命题不等价．[难点正本　疑点清源]1．等价命题和等价转化(1)逆命题与否命题互为逆否命题；(2)互为逆否命题的两个命题同真假；(3)当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假．2．集合与充要条件设集合A＝{x

3、x满足条件p}，B＝{x

4、x满足条件q}，则有(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件；(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA

5、，则p是q的必要不充分条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A⃘B，且B⃘A，则p是q的既不充分也不必要条件．1．下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“若ab＝0，则a＝0”的否命题；③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题．其中真命题的序号是________．(把所有真命题的序号填在横线上)答案　②③解析　①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；②“若ab＝0，则a＝0”的否命题为“若ab≠0，则a≠0”，而由ab≠0，可得a，b都不为零，故a≠0，所以该命题是真命题；③因为原命题

6、“正三角形的三个角均为60°”是一个真命题，故其逆否命题也是一个真命题．2．“x>2”是“<”的________条件．答案　充分不必要解析　①x>2⇒2x>0⇒>⇒<，∴“x>2”是“<”的充分条件．②<⇒x<0或x>2D⇒/x>2.∴“x>2”是“<”的不必要条件．3．已知a，b∈R，则“a＝b”是“＝”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　B解析　因为若a＝b<0，则≠，所以充分性不成立；反之，因为＝⇔＝⇔a＝b≥0，所以必要性成立，故“a＝b”是“＝”的必要不充分条件．4．(2011·天津)设集

7、合A＝{x∈R

8、x－2>0}，B＝{x∈R

9、x<0}，C＝{x∈R

10、x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的(　　)　A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案　C解析　因为A＝{x

11、x－2>0}＝{x

12、x>2}＝(2，＋∞)，B＝{x

13、x<0}＝(－∞，0)，所以A∪B＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，C＝{x

14、x(x－2)>0}＝{x

15、x<0或x>2}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)．即A∪B＝C.故“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.5．(2012·天津)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(

16、x＋φ)(x∈R)为偶函数”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案　A解析　由条件推结论和结论推条件后再判断．若φ＝0，则f(x)＝cosx是偶函数，但是若f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数，则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件.题型一　命题的四种形式及其关系例1　已知命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是(　　)A．否命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”

17、是真命题B．逆命题“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”是假命题C．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”是真命题D．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题思维启迪：根据定义判断一个原命题的逆命题、否命题、逆否命题的表达格式．当命题较简单时，可直接判断其真假，若命题本身复杂或不易直接判断时，可利用其等价命题——逆否命题进行真假判断．答案　D解析　命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m>1，

18、则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．探究提高　(1)熟悉概念是正确书写或判断命题