第4讲.全等三角形的经典模型(二).培优.doc

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1、4全等三角形的经典模型(二)三角形11级特殊三角形之直角三角形三角形10级勾股定理与逆定理三角形9级全等三角形的经典模型(二)秋季班第十二讲秋季班第十一讲秋季班第三讲满分晋级阶梯漫画释义等等…腰知识互联网题型一:“手拉手”模型思路导航“手拉手”数学模型:⑴⑵⑶例题精讲【引例】如图,等边三角形与等边三角形共点于,连接、,求证:=并求出的度数.【解析】∵△ABE、△AFC是等边三角形∴AE=AB,AC=AF,∴即∴∴=又∵∴∴典题精练【例1】如图,正方形BAFE与正方形ACGD共点于,连接、,求证:=并求出的度数.【解析】同引例,先证明∴BD=FC,∵∴【例2】如图,已知点为线段上一点,

2、、是等边三角形.⑴求证:.⑵将绕点按逆时针方向旋转,使点落在上,请你对照原题图在图中画出符合要求的图形;⑶在⑵得到的图形中,结论“”是否还成立,若成立,请证明;若不成立,请说明理由;⑷在⑵所得的图形中,设的延长线交于,试判断的形状,并证明你的结论.【分析】这是一个固定后运动变化的探索题,且在一定的条件下,探究原结论的存在性(不变性);需要画图分析、判断、猜想、推理论证.【解析】⑴∵、是等边三角形∴,∴在和中∴(SAS)∴⑵将绕点旋转如图:⑶在⑵的情况,结论仍然成立.证明:∵,,.∴(SAS),∴.⑷如图,延长交于,则为等边三角形.证明:∵.∴是等边三角形.题型二:双垂+角平分线模型典

3、题精练【例1】在中,,于D,BF平分交AD于E,交AC于F.求证:AE=AF.【解析】,是的角平分线【例2】如图,已知中,,于,的角平分线交于,交于,交于.求证:.【分析】要证,一般想到证明这两条线段所在的三角形全等,由图形可知,不存在直接全等三角形,因此要想到添加辅助线构造全等三角形.【解析】作于∵,∴(角平分线定理)又∵∴∵,∴∴∴又∵,∴∴(AAS)∴,∴,∴∴题型三:半角模型典题精练【例2】已知:正方形中,,绕点顺时针旋转,它的两边分别交线段于点.求证.【解析】延长到使∵四边形ABCD是正方形∴AD=AB在和∴∴AM=AE∵∴∴在和中∴∴MN=EN∴DE+DN=BM+DN=M

4、N【例1】如图,在四边形ABCD中,E、F分别是线段BC、CD上的点,且BE+FD=EF.求证:.【解析】延长FD到H,使DH=BE,易证,再证【例2】在等边三角形的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为三角形ABC外一点,且,,BD=DC.探究:当M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系.图1图2⑴如图1,当点M、N在边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是;⑵如图2,点M、N在边AB、AC上,且当DMDN时,猜想⑴问的结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明.【解析】⑴如图1,BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN.⑵

5、猜想:结论仍然成立.证明:如图,延长AC至E,使CE=BM,连接DE.BD=CD且..又△ABC是等边三角形,∴.在与中:(SAS).DM=DE,在MDN与EDN中:(SAS)第04讲精讲:典型的旋转全等构图:“手拉手”全等模型探究;【探究一】“手拉手”模型基本构图;如图1,若与旋转全等,则必有与为两个顶角相等的等腰三角形(即相似的等腰三角形);反之,如图2,若有两个顶角相等的等腰三角形与共顶角顶点,则必有与旋转全等;而图2正是“手拉手”模型的基本构图;【探究二】将探究一中的普通等腰三角形换成特殊的图形,例如等边三角形、等腰直角三角形、正方形,然后再探究结论如何变化;如图3、图4、图

6、5,当两个等边三角形、等腰直角三角形、正方形共顶点时,与仍然旋转全等,并且有两个共同的结论;结论1:≌;;结论2:与所夹锐角等于两个等腰三角形的顶角;(倒角方法如下图6、图7、图8的八字模型)【探究三】将探究二中的特殊图形旋转后结论是否仍然成立;如下图9、图10、图11易得探究二中的两个结论仍然成立;【探究四】深化探究二中图3的结论;如图12,可得结论1:≌;;结论2:;结论3:如图12、图13、图14,可得三对三角形全等(≌;≌;≌)结论4:如图15,连接,可得为等边三角形;(由结论3可得)结论5:;(由结论4可得)结论6:连接,可得平分;(如图16,分别作、,与分别是全等三角形与

7、对应边和上的高,故相等)复习巩固题型一手拉手模型巩固练习【练习1】如图,DA⊥AB,EA⊥AC,AD=AB,AE=AC,则下列正确的是()A.B.C.D.【解析】D【练习2】如图,正五边形ABDEF与正五边形ACMHG共点于,连接、,则线段BG、CF具有什么样的数量关系并求出的度数.【解析】先证可得BG=CF,∵∴题型二双垂+角平分线模型巩固练习【练习3】已知AD平分,,垂足为E,,垂足为F,且DB=DC,则EB与FC的关系()A.相等B.EB

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