第11讲.全等三角形中的倍长类中线.教师版.doc

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1、第十一讲全等三角形中的倍长类中线中考要求板块考试要求A级要求B级要求C级要求全等三角形的性质及判定会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题知识点睛三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分

2、第三边．中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．重、难点重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理以及中线的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论

3、，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化例题精讲版块一、倍长中线【例1】已知：中，是中线．求证：．【解析】如图所示，延长到，使，连结，利用证得≌，∴中，，∴∴【巩固】(2002年通化市中考题)在中，，则边上的中线的长的取值范围是什么？【解析】中线倍长，【例2】如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，延长交于，，求证：．【解析】延长到，使，连结∵，，∴∴．又∵，∴∴∴，∴．【例1】如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：为的角平分线．【解析】延长到点，使，连结．在和中∴∴，∴，而∴又∵∴，∴∴为的角平分线．【例2】如图，中，，是中线．求证：．【解析

4、】延长到，使，连结．在和中∴∴，在中，∵，∴∴，∴．(如果取中点用中位线也可证，目前还不能)【例10】如图所示，在和中，、分别是、上的中线，且，，，求证．【解析】如图所示，分别延长、至、，使，．连接、，则，．因为，所以．在和中，，，，故，从而，．同理，，则，．因为，所以．在和中，，，，所以，从而，，故，则．在和中，，，，故．【例1】已知△ABC，，D，E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G，求证GD=GE．【解析】(等腰三角形、线段相等)(一)过E作EF∥AB，交BC的延长线于F，则∠B=∠F∵∠3=∠4，∠3=∠B∴∠4=∠F∴CE=EF在△GEF与△

5、GDB中，∴△GFE≌△GBD∴证明(二)过D，E分别作直线DK⊥CB，EF⊥CB∵∠1=∠2∠2=∠B∴∠1=∠B又∵BD=CE∴Rt△BDK≌△CEF∴DK=EF又∵∠3=∠4．∴Rt△DKG≌Rt△EFG∴GD=GE证明(三)过D点作DK∥AC交BC于K过D点作DF∥BC交AC于F∴四边形DKCF是开行四边形∴DK=FC∠1=∠C∵∠C=∠B∴∠1=∠B∴DB=DK=CE=CF∴C是EF中点，∴BC∥DF∴G是DE中点，∴DG=EG注(此题还有他法，可补充)【例1】在中，，点为的中点，点、分别为、上的点，且．以线段、、为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角

6、形或钝角三角形？【解析】延长到点，使，连结、．在和中∴∴，∵∴∴在和中∴∴故以线段、、为边能构成一个直角三角形．【巩固】如图所示，在中，是的中点，垂直于，如果，求证．【解析】延长至，使，连接、、．因为，，，则．从而，．而，，故，因此，即，则，即．因为，故，则．为Rt斜边上的中线，故．由此可得．【例1】已知为的中线，，的平分线分别交于、交于．求证：．【解析】延长到，使，连结、．易证≌，∴，又∵，的平分线分别交于、交于，∴，利用证明≌，∴，在中，，∴．【例10】如图所示，，是的中点，，，求证．【解析】如图所示，设交于，要证明，实际上就是证明，而条件不好运用，我们可以倍长中线到，连接交于点

7、，交于点．容易证明则，，从而，而，，故从而，故而故，亦即．【巩固】已知在中，是中线，是上的任意一点，且交的延长线于点，交于，求证．【解析】如图所示，延长交的延长线于点，使得,在上取点，使，连接、．因为，，，故≌，．同理，，，故．同理，．因为，故，从而，即，则．【例1】(2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)已知：如图，梯形中，，点是的中点，的延长线与的延长线相交于点．求证：．【解析】∵点是中点∴又∵，在延长线上∴，在与中∴【例1】(浙江省2008年初中