第03讲-函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性).doc

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1、第03讲函数的性质2015.07.14（单调性、奇偶性、周期性、对称性）【考纲解读】2.函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）（1）函数④理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．【知识梳理】1.单调性定义：①区间M(定义域),若②，则③在M上是增函数(M称为增区间)；若②，则③在M上是减函数(M称为增区间).函数单调性题目类型（1）利用定义的常见单调性题目：①②③,判断函数的单调性；②③①,判断自变量大小；①③②，判断函数值的大小。（2）已知

2、单调性，反求参数范围；（3）利用导数研究函数单调性；（4）利用已知函数的图像研究函数单调性;（5）复合函数的单调性2.奇偶性定义：（1）若,则是偶函数；若，则不是偶函数；（2）若,则是奇函数；若，则不是奇函数；注意：定义的否定形式.3.周期性:定义：若存在非零常数T，使得,则为周期函数，T是一个周期.4.对称性（1）偶函数的图像关于y轴对称；（2）奇函数的图像关于原点对称；（3）指数函数和对数函数是互为反函数，它们的图像关于直线对称；（4）若满足，则的图像关于直线对称；（5）若满足，则的图像关于点对

3、称；（6）若满足，则的图像关于直线对称；（7）若满足，则的图像关于点对称；【典例精讲】考点一单调性例1.（15湖南理）设函数，则是（）A.奇函数，且在上是增函数B.奇函数，且在上是减函数C.偶函数，且在上是增函数D.偶函数，且在上是减函数【答案】A.【解析】试题分析：显然，定义域为，关于原点对称，又∵，∴练习1.1（2012山东理）设且,则“函数在上是减函数”,是“函数在上是增函数”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件1.2（2006北京）已知是上的

4、减函数，那么的取值范围是(C)（A）（B）（C）（D）考点二奇偶性例2.（2013上海春）已知真命题:“函数的图像关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数是奇函数”.(1)将函数的图像向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图像对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数图像对称中心的坐标;(2)求函数图像对称中心的坐标;(3)已知命题:“函数的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a和b,使得函数是偶函数”6.判断该命题的真假.如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并

5、类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明).【答案】(1)平移后图像对应的函数解析式为, 整理得, 由于函数是奇函数, 由题设真命题知,函数图像对称中心的坐标是. (2)设的对称中心为,由题设知函数是奇函数. 设则,即. 由不等式的解集关于原点对称,得. 此时. 任取,由,得, 所以函数图像对称中心的坐标是. (3)此命题是假命题. 举反例说明:函数的图像关于直线成轴对称图像,但是对任意实数和,函数,即总不是偶函数. 修改后的真命题: “函数的图像关于直线成轴对称图像”的充要条件是“函

6、数是偶函数”.练习2.（2013山东理）已知函数为奇函数,且当时,,则(A)(B)0(C)1(D)2【答案】A考点三周期性例3.（2012江苏）设是定义在上且周期为2的函数,在区间上,其中.若,则的值为____.练习3.1（2013大纲文13）设是以2为周期的函数，且当时，则的值为   【参考答案】练习3.2(2009陕西卷理)定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则当时,有(A)(B)(C)(C)(D)考点四综合问题例4.（15年新课标2文科）设函数,则使得成立的的取值范围是（）A．B．C．D．【

7、答案】A【解析】试题分析：由可知是偶函数,且在是增函数,所以.故选A.考点：函数性质练习4.（2013江苏11）已知是定义在上的奇函数。当时，，则不等式的解集用区间表示为．【答案】(﹣5，0)∪(5，﹢∞)【解析】做出()的图像，如下图所示。由于是定义在上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x＜0的图像。不等式，表示函数y＝的图像在y＝x的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0)∪(5，﹢∞)。6xyy＝xy＝x2—4xP(5,5)Q(﹣5,﹣5)【基础夯实】1.（15福建文）下列函数为奇函数的是

8、()A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：函数和是非奇非偶函数；是偶函数；是奇函数，故选D．考点：函数的奇偶性．2.(2010重庆理5)函数的图象（A）关于原点对称（B）关于直线y＝x对称（C）关于x轴对称（D）关于y轴对称【答案】D解析：是偶函数，图像关于y轴对称.3.（2013湖北文）x为实数,表示不超过的最大整数,则函数在上为（　　）A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数【答案】D4.（2013湖南文4）已知是奇函数，是偶函数，且，，则A.4  B.3