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1、数学实验作业学院：理学院班级：统计11-1姓名：吴学号：6实验1一、问题的提出已知方程组，其中,定义为通过迭代法求解方程组。（1）选取不同的初始向量，和不同的方程组右端向量，给定迭代误差要求，用雅克比和高斯赛德尔迭代法计算，观察得到的迭代向量序列是否收敛？（2）取定右端向量和初始向量，将的主对角元素成倍增长若干次，非主对角元素不变，每次用雅克比迭代法计算，要求迭代误差满足，比较收敛速度。二、问题分析问题（1）要求针对不同的初始向量，和不同的方程组右端向量，在迭代误差一定的情况下，分别用用雅克比和高斯赛德尔迭代法计算方程组，并分析迭代向量序列的收敛性与迭代次数。问题（2）
2、要求在右端向量和初始向量一定的条件下，将的主对角元素成倍增长若干次，非主对角元素不变。在迭代误差满足的条件下，用雅克比迭代法比较不同的收敛速度。三、模型建立对于一般的线性方程组，假设，雅克比迭代公式是如果将分解为,，，迭代公式等价于如下的矩阵形式：或类似地，线性方程组的高斯赛德尔迭代公式是：等价于如下的矩阵形式：依据分析可知问题（2）要求迭代误差满足，在此，不妨问题（1）也采用相同的迭代误差。针对问题（1），出于简化模型的目的，不妨初始向量分别取和，方程组右端向量也分别取和。针对问题（2），出于简化模型的目的，分别取原的主对角元素的1到5倍，初始向量和方程组右端向量分别
3、取和，在迭代误差满足的条件下，比较五次得到的迭代结果进行分析。四、模型求解针对问题（1），依据模型在初始向量为，方程组右端向量为时编写如下程序：A=zeros(20);fori=1:20forj=1:20ifi==jA(i,j)=3;endifi==j-1A(i,j)=-1/2;endifj==i-1A(i,j)=-1/2;endifi==j-2A(i,j)=-1/4;endifj==i-2A(i,j)=-1/4;endendendL=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);D=diag(diag(A));b=ones(20,1);%右端向量以下的程序对此出做
4、相应的改动%雅克比B1=D(L+U);f1=Db;x0=zeros(20,1);%初始向量以下的程序对此出做相应的改动i=1;x=B1*x0+f1;whilenorm(x-x0,inf)>=1e-6x0=x;%设置迭代精度为10e-5x=B1*x0+f1;i=i+1;endxi%高斯赛德尔B2=(D-L)U;f2=(D-L)b;y0=zeros(20,1);%初始向量以下的程序对此出做相应的改动j=1;y=B2*y0+f2;whilenorm(y-y0,inf)>=1e-6y0=y;%设置迭代精度为10e-5y=B2*y0+f2;j=j+1;endyj运行程序得
5、到雅克比算法为了达到的迭代精度，迭代次数为20。高斯赛德尔算法为了达到的迭代精度，迭代次数为13。其结果为：0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.改变初始向量为，保持方程组右端向量不变为，得到雅克比算法为了达到的迭代精度，迭代次数为19。高斯赛德尔算法为了达到的迭代精度，迭代次数为13。保持初始向量为不变，改变方程组右端向量为时，得到雅克比算法为了达到的迭代精度，迭代次数为1。高斯赛德尔算法为了达到的迭代精度，迭代次数为1。从结果看该取值很有可能使得方程组出现了病态解。同时改变初始向量（）和方程组右端向量（）时，得到雅克比算法为
6、了达到的迭代精度，迭代次数为20。高斯赛德尔算法为了达到的迭代精度，迭代次数为14。当初始向量和方程组右端向量同时为时，方程求解的出现了特殊情况。因此在方程组右端向量为时，改变初始向量为，得到克比算法为了达到的迭代精度，迭代次数为21。高斯赛德尔算法为了达到的迭代精度，迭代次数为14。综合上述程序运行结果，可以看出，在相同的精度要求下，高斯赛德尔的收敛性更好一些。针对问题（2），依据模型编写如下程序：A=zeros(20);fori=1:20forj=1:20ifi==jA(i,j)=3;endifi==j-1A(i,j)=-1/2;endifj==i-1A(i,j)=
7、-1/2;endifi==j-2A(i,j)=-1/4;endifj==i-2A(i,j)=-1/4;endendendT=cell(1,5);fork=1:5fori=1:20forj=1:20ifi==jA(i,j)=3*k;T{1,k}=A;endendendend%取原对角元素的1到5倍fori=1:5L=-tril(T{1,i},-1);U=-triu(T{1,i},1);D=diag(diag(T{1,i}));b=ones(20,1);B=D(L+U);f=Db;x0=zeros(20,1);i=1;x=B*x0+f;w
