数列复习讲义.doc

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1、精锐教育参训教师讲义科目：高中数学参训教师：刘春影适用对象：教师年级：高三适合程度：(中等)课时：（6）×40min课题数列重点题型复习授课时间宋体五号不加粗教学目标体统掌握数列中通项公式和前项和求法，了解数列的应用并解决数列综合题。教学内容【考试要求】考试内容考试要求ABC等差数列的通项公式√等差数列前项和公式√等比数列的通项公式√等比数列前项和公式√【知识梳理】知识点1一、数列的通项的求法1.公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.2.作差法：已知(即)求用作差法：.3.作商法：已知求用作商法

2、：.4.叠加法:若求用叠加法.5.叠乘法：已知,求用叠乘法.6.构造法(构造等差、等比数列)：①形如,,(为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后,再求.②形如的递推数列都可以用“取倒数法”求通项.二、数列求和的方法1、公式法：等差数列求和公式：或等比数列求和公式；2、分组求和法：若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求.3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和.4、错位相减法：源于等比数列前n

3、项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法.5、裂项相消法：如果一个数列的每一项都能化为两项之差，而前一项的减数恰与后一项的被减数相同，一减一加，中间项全部相消为零，那么原数列的前n项之和等于第一项的被减数与最末项的减数之差.多用于分母为等差数列的相邻k项之积，且分子为常数的分式型数列的求和.公式：；；；；常见裂项公式：；；；常见放缩公式：.知识点2一、等差或等比数列的证明判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：1、定义法：对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。2、通项

4、公式法：①若=+（n-1）d=+（n-k）d，则为等差数列；②若，则为等比数列。3、中项公式法：验证都成立。知识点3一、数列的应用1、“分期付款”、“森林木材”型应用问题⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决.⑵利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金元,每期利率为,则期后本利和为：(等差数列问题）；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)

5、模型：若贷款(向银行借款)元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分期还清.如果每期利率为（按复利），那么每期等额还款元应满足：(等比数列问题).【精讲精练】【例题1】★★（2011东城二模文）已知数列的前项和为,且（）。（Ⅰ）证明:数列是等比数列；（Ⅱ）若数列满足，且，求数列的通项公式．【考点】等比数列通项与前项和公式【分析】根据与的关系可求得，继而代入已知条件中即可得到关于数列的递推关系式，再利用叠加法求得通项。【解答】解：（Ⅰ）证明：由，时，，解得.因为，则

6、，所以当时，，整理得.又，所以是首项为1，公比为的等比数列.（Ⅱ）因为，由，得.当时，有可得＝，（），当时，，也满足上式，所以数列的通项公式为。【点评】本题主要考察用作差法和叠加法求数列通项的技巧，要注意时的情况，必要时分段书写。【巩固1】★★★数列的前项和为不等于0，1的常数)，求其通项公式。【考点】数列通项求法【分析】可利用与的关系可求得通项公式。【解答】解：由可得当时，，，，，是公比为的等比数列.又当时，，，。【点评】本题复习作差法求通项公式，注意题中字母的范围，必要时要分类讨论。【例题2】★★设是

7、首项为1的正项数列，且满足，则它的通项公式　　　　　．【考点】数列通项公式的求法。【分析】化简已知条件中给出的递推公式，通过叠乘等式，得到通项。【解答】解：由，得．由，得，，即．∴，．将以上个式子叠乘，得．因为，所以．【点评】形如的递推数列求通项适用此法。【例题3】★★★数列，首项为，满足（），求通项公式。【考点】数列通项公式的求法。【分析】整理变形递推公式，构造新数列，再利用整体代换方法求得通项。【解答】解：设存在一实数，满足，即.又因为，所以，即：.由可知数列是首项为，公比为的等比数列。故，即.代入得

8、：【点评】注意此类问题中可用待定系数法求出。【巩固1】★★根据下面各个数列的首项和递推关系，求其通项公式。⑴⑵⑶【考点】数列通项公式的求法。【分析】根据不同递推公式的特点，依次选择用叠加、叠乘、构造法求得各个通项。【解答】解：（1），，（2）=又由题意可知，对一切自然数成立，（3）是首项为公比为的等比数列，【点评】本例复习求通项公式的几种方法：迭加法、迭乘法、构造法。【例题4】★★求数列，的前项和．【考点】分组法数列求和。【分