资源描述：
《第十章无穷级数ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第十章无穷级数第一节常数项级数的概念与性质第二节数项级数的审敛法第三节幂级数第四节函数的幂级数展开第五节傅里叶级数1公元前五世纪,以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺(Zeno)用他的无穷、连续以及部分和的知识,引发出以下著名的悖论：如果让阿基里斯(Achilles,古希腊神话中善跑的英雄)和乌龟之间举行一场赛跑,让乌龟在阿基里斯前头1000米开始,假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍,也永远也追不上乌龟.齐诺的理论依据是：当比赛开始的时候,阿基里斯跑了1000米,此时乌龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时,乌龟仍然前于他10米
2、,…,如此分析下去,显然阿基里斯离乌龟越来越近,但却是永远也追不上乌龟的.这个结论显然是错误的,但奇怪的是,这种推理在逻辑上却没有任何毛病.那么,问题究竟出在哪儿呢？齐诺悖论—阿基里斯与乌龟2第一节常数项级数的概念和性质无穷级数是高等数学的一个重要组成部分,它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具.一、级数的基本概念计算圆的面积正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积31、级数的定义:—(常数项)无穷级数一般项部分和数列级数的部分和42、级数的收敛与发散:5解收敛发散例1讨论等比级数(几何级数)的收敛性.6发散发散综上所
3、述,7公元前五世纪,以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺(Zeno)用他的无穷、连续以及部分和的知识,引发出以下著名的悖论：如果让阿基里斯(Achilles,古希腊神话中善跑的英雄)和乌龟之间举行一场赛跑,让乌龟在阿基里斯前头1000米开始,假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍,也永远也追不上乌龟.齐诺的理论依据是：当比赛开始的时候,阿基里斯跑了1000米,此时乌龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时,乌龟仍然前于他10米,…,如此分析下去,显然阿基里斯离乌龟越来越近,但却是永远也追不上乌龟的.这个结论显然是错误的,但奇怪的是,这
4、种推理在逻辑上却没有任何毛病.那么,问题究竟出在哪儿呢？齐诺悖论—阿基里斯与乌龟8如果我们从级数的角度来分析这个问题,齐诺的这个悖论就会不攻自破.910解例2讨论无穷级数的收敛性.11解例3所以级数发散.12级数收敛的必要条件证明定理13说明：1、如果级数的一般项不趋于零,则级数发散；级数发散；级数发散。142、必要条件不充分：再举一个重要例子：但级数发散。调和级数15讨论于是矛盾，调和级数16二、收敛级数的基本性质也收敛,且有由级数收敛的定义，以及极限的性质，不难证明。思考：可逆吗？性质1性质217说明：证矛盾.18去掉、添加或改变
5、级数中的有限项,不会影响它的敛散性(但收敛级数的和可能要改变).性质3性质4收敛级数任意加括号后仍收敛,且其和不变.证因为部分和数列只相差一个常数。例如，19性质4收敛级数任意加括号后仍收敛,且其和不变.续证注收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.推论如果加括弧后所成的级数发散,则原级数也发散.例如例如，则级数且和不变.20例4判断下列级数的敛散性：因为都收敛，故原级数收敛，解且和为21例4判断下列级数的敛散性：收敛；发散。22第二节数项级数的审敛法1、定义：这种级数称为正项级数.2、正项级数收敛的充要条件：定理一、正项级数的收敛问题
6、23证明比较审敛法定理(1)24(2)是(1)的等价命题.注：定理的条件可放宽为：证明比较审敛法定理25解例1所以原级数收敛.26解例227所以于是28重要参考级数：几何级数,p-级数,调和级数.比较：29解例3例4解所以原级数发散。所以原级数收敛。例8-1330,设å¥=1nnu与å¥=1nnv都是正项级数如果,当时;则(1)两级数有相同的敛散性(3)当时,若å¥=1nnv发散,则å¥=1nnu发散;(2)当时，若收敛,则收敛;比较判别法的极限形式：31证明由比较判别法,可知两级数有相同的敛散性.32证明由比较判别法可知,(注意：不
7、可逆)；由(2)即得结论.33例5例6例7例8所以原级数发散。收敛发散收敛34常用等价无穷小：35例9解例10收敛。解36例1137例12解38证例13由基本不等式39比值判别法(达朗贝尔D’Alembert判别法)证略.40例14例15收敛.解收敛.解41例16解所以用比值法无法判断.用比较法,收敛.42解例17收敛.43例18解44根值判别法(柯西Cauchy判别法)：证略.45例19解所以级数收敛.例20解所以级数收敛.46例21收敛.解47二、交错级数及其审敛法定义：正、负项相间的级数称为交错级数.定理(莱布尼茨判别法)如果交
8、错级数满足条件称莱布尼茨型级数48证另一方面,49定理(莱布尼茨判别法)如果交错级数满足条件注意：莱布尼兹判别法所给的条件只是交错级数收敛的充分条件，而非必要条件.50例22解这是交错级数,由莱布尼茨定理知，级数收敛。一
