第十五章-无套利定价理论基础-《金融经济学》PPT课件.pptx

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1、15.1套利的严格定义资产市场数学描述回顾资产市场的（1期）支付矩阵与（0期）价格向量资产组合、资产组合的（1期）支付、资产组合的（0期）价格115.1套利的严格定义套利的定义及分类定义15.1（套利）：同时满足下列3个条件的资产组合θ叫做套利（arbitrage）：（i）pθ≤0；（ii）xθ≥0；（iii）前两个不等式中至少有一个是严格不等式。三类套利第一类套利，pθ<0且xθ=0：在当前获得确定性的收益，而在未来却不承担任何责任。第二类套利，pθ=0且xθ>0：在当前不付出任何代价，而在未来却能获得正的收益（尽管这种

2、收益是不确定的，但这种不确定性只是获利有多大而已，而不会带来任何损失的可能）第三类套利，pθ<0且xθ>0：当前既能获得确定性的正收益，在未来还能获得正的支付三点说明套利只依赖于资产的支付和价格，而与各个状态发生的概率无关。任何套利机会都可以化成前面这三种套利的一种无套利是均衡的一个必要条件——均衡中一定没有套利机会；但无套利并非均衡的充分条件——即使资产市场中没有套利机会，也未必达到了均衡（市场可能还没出清）215.2资产定价基本定理状态价格向量与资产定价资本定理定义15.2（状态价格向量）：状态价格向量φ=(φ1,..

3、.,φS)T为一组正数（φs>0，s），使得对于任意资产j都有下式成立对状态价格向量的说明状态价格就是各个状态对应的Arrow证券的价格状态价格等于随机折现因子（定价核）乘以真实世界的概率φs=πsms状态价格总是正的（Arrow证券的价格必然大于0）定理15.3（资产定价基本定理）：资产市场中不存在套利机会，当且仅当状态价格向量存在315.2资产定价基本定理超平面分离定理超平面分离定理：任给两个S维空间中相互分离的凸集合A和B（二者的交集为空集），在这两个凸集合中分别任取一点，aA，bB，一定可以找到一个线性函数

4、F(x)=α1x1+α2x2+...+αSxS（其中的α1、α2、......αS都是常数），使得F(a)

5、构成了一个维数低于S+1的子空间（subspace）定义集合BB中的元素都是包含S+1个元素的向量，且向量的每个元素都非负集合B是一个锥（cone）——在二维的情况下，集合B就是二维坐标系的第一象限（包含坐标轴）515.2资产定价基本定理资产定价基本定理的证明思路（续1）资产市场中如果没有套利机会，集合A和集合B只相交于0=(0,0,...,0)这一点（AB={0}）如果A和B还相交于非0的点，就意味着下面这个向量的所有元素都非负，且至少有一个元素严格为正，因而构成了前面定义的套利615.2资产定价基本定理资产定价基本定

6、理的证明思路（续2）集合A与集合B-{0}（集合B除去0点）都是凸集，由超平面分离定理可以知道，可以找到一个线性的函数F(x)=α0x0+α1x1+...+αSxS，使得F(a)

7、F(a)0，因此对线性函数F(x)=α0x0+α1x1+...+αSxS来说，必有αi>0（i=0,1,...,S）F(a)=0写成715.2资产定价基本定理资产定价基本定理的证明思路（续3）由于权重θ可以任意选择，完全可以将其设定为某种资产j的权重为1，其它资产的权重全部为0，所以对任意一种资产j，都有变形为其中的αs/α0（s=1,...,S）全是正数，就是所要寻找的状态价格，定理的充分性（

8、无套利=>存在状态价格向量）得证如果已经存在着状态价格φ1，...，φS，则资产价格必定可以表示为由于所有的φs都是正数，所以如果xθ≥0，必然有pθ≥0。而如果xθ>0，则必有pθ>0。所以不存在套利机会，定理的必要性得证815.2资产定价基本定理完备市场中状态价格的唯一性定理15.4（第二资产定价基