常量与变量的大小比较三次修改稿.doc

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1、浅议常量与变量的大小比较马乾凯、雷添淇（沈阳市数学会，辽宁沈阳110044）常量与变量的大小比较问题之所以能成为每年高考的必考题目，究其原因，主要是鉴于学生12年数学学习，对量的大小识别是最学生应具备的基本数学素养之一。因此，如何深挖此类问题的本原结构，总结出解决此类问题一般的方法，对高三备考来说，至关重要。本文将以几道典型试题为例，对常量与变量的大小比较归结出几种方法。在高中数学必修5不等式一章中，我们学习了比较大小的最基本方法——做差比较法.当比较的两数同号时，有时我们也可以用坐商比较法。以上两种方法是我们确定

2、数量大小关系的最基本的方法。但这两种方法均具有局限性，对于变量而言，只有形式相似即可以在作差时提取公因式或进行相除运算时可约分者方可采用这两种方法进行判断；或形式相同(变量相同)可以先进行作差整理成函数，而后利用函数的单调性，进而进行判断。而对于形式相似的常量，则可直接采用此法。一常量的大小比较例1试用比较法说明1与2的大小关系。.或1，2同正且，评析：对于形式相同的常量，可以进行减法运算或除法运算的，可以用作差法与作商法进行比较。例2试比较1.72.5与1.73的大小。法一：。法二：1.72.5与1.73的形式相

3、同，为同底数指数形式，因此可以借助指数函数单调性考虑。因为指数函数在R上是增函数，且2.5＜3，所以，评析：形式相同，当不可直接进行做差比较法时，可以考虑借助某个单调函数，利用该函数的单调性来解决问题。但如果形式不同，以致不可以进行运算，又当如何处理呢？例3（2010全国卷I）设则（）A．B.C.D.首先，我们考虑把待比较的数变形，划归为形式相同我们可以比较的形式.因为、为同类的常量，因此可变形为相同形式，即，。，，即但与、类型不同，无法划归为形式形同可以比较的形式，此时该如可处理呢？先看如下例题：例4已知，，，则

4、、、的大小关系是（）A．B.C.D.此题中、、虽都是常量，但没有一个可以在事先不利用计算设备情况下，将常量的精确值或近似值人工的计算出来，并且也无法划归为相同形式进行比较。此时，作差法与作商法均已失去效能，那问题又应如何处理？物理学科中有这样两个名词“参照系”与“参照物”。其定义为：由于一切物体都在运动，在研究一个物体的运动时，首先要确定物体的运动是相对哪一个物体来说的，被选来作为参考标准的物体或物体系，叫做参照物或参照系。这给了我们一定的启迪.。如果我们找到某个“参照物”，该“参照物”就可以与题目中、、进行大小比

5、较，那么我们就可以将其作为“媒界”利用不等关系的传递性，便可判断出、、之间的大小关系。或者找到数学中的某个“参照系”，把题目中的三个常量安置其中，根据每个“参照系”在数轴的具体位置，即可判断出、、相应的大小关系.在数学中，常量的“参照物”、“参照系”是什么呢？其实，在比较大小最基本的方法——作差比较法和作商比较法已经给我们提供了两个“参照物”.作差与“0”比较大小；作商与“1”比较大小.因此，“0”与“1”自然成为我们首先考虑的“参照物”或“媒界点”.，即；，即；，即.，即.故选D.而对应的参照系应是参照物所在系统

6、，即数轴。因此，对于此类常量无法事先得知其精确值或近似值，又无法化归为相同形式进行比较的问题时，可以用一个区间估计其大小（区间越小则估计越精确）.但这个区间必须得是一个，即每个变量的估计区间彼此无交集。这时，就可以在数轴上标出各个量的大概位置，即将所有常量纳入到该“有效参照系”（数轴）内，根据各“有效参照系”在数轴上的位置，即可判断出常量间的大小关系。前面利用“0”和“1”作为“参照物”解决问题的实质是用、、这三个区间来估计、、的范围，然后在数轴上表示出来，即判断出、、的大小关系.现在，接着来思考例3.首先考虑的自

7、然应是把简化：再来思考找到两个区间来分别估计、和的范围，如果两个区间无交集，那么便可以通过数轴来判断出其大小关系.，，又，即至此，例3求解完毕，选C.评析：当待比较大小的量的形式不同，首先考虑是否可以划归为形式相同的量进而用法（一）、法（二）来解决问题。当无法划归为形式相同的量时，可考虑用区间估计法来解决问题。优点：此法可解决所有的常量比较大小的问题；局限：如何合理的找到相应的区间来估计各个常量成为关键。前面是对常量的大小比较的基本方法总结。下面来看变量间的大小比较。二变量间的大小比较：变量与变量比较有二种类型：（

8、1）双元变量之间可以进行作差运算，然后对差式进行因式分解，变形为积的形式或是利用均值不等式以及简单线性规划等手段.根据条件，判断各因子的正负，进而判断差后整体的正负（与“0”比较大小），从而到变量间的大小关系.此外，对于四个选项均是确定的大小关系的选择题，用赋值法求解也不失为一种方法.（2）在单元变量间的大小比较问题中，较为简单的可直接利用函数单调性或某类函