双等边三角形概要.doc

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1、双等边三角形如图，C为线段AB上一动点（不与点A，B重合），在AB同侧分别作正三角形ABD和正三角形CBE，AE与BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与CE交于点N，连结MN．以下五个结论：①三对全等三角形（内含丰富的等量关系）：△ACE≌△DCB；△ACM≌△DCE；△MCE≌△NCB②△MCN是等边三角形；③MN∥AB；④∠AOD=60°；⑤AO=DO+CO；⑥OC平分∠AOB；⑦；⑧；⑨若P、Q分别为AE、BD的中点，则△CPQ是等边三角形；如图A是CD上一点，DABC、DADE都是正三角形，求证CE=BD题2

2、：如图，DABD、DACE都是正三角形，求证CD=BE题3：如图，分别以DABC的边AB、AC为一边画正方形AEDB和正方形ACFG，连接CE、BG，求证BG=CE题4：如图，有公共顶点的两个正方形ABCD、BEFG，连接AG、EC，求证AG=EC题5：如图，P是正方形ABCD内一点，DABP绕点B顺时针方向旋转能与DCBP’重合，若PB=3，求PP’如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,CE与BD相交于点M,BD交AC于点N，证明:（1）BD=CE.（2）BD⊥CE.图(1)图(2)图(3)(3)当△ABC绕A

3、点沿顺时针方向旋转如下图（1）（2）（3）位置时，上述结论是否成立？请选择其中的一个图加以说明.证明：(1)△BAD≌△CAE,得BD=CE.………………(4分)(2)∠CMN=180°-∠NCM-∠MNC=180°-∠ABD-∠ANB=∠BAN=90°∴BD⊥CE.………………(7分)(3)结论仍成立,证法同上.………………(8分)证明过程完整BCDAE题目如图，△ABD，△AEC都是等边三角形．BE与DC有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？（人教课本P679题）解∵△ABD是等边三角形，∴AB=A

4、D，∠BAD=60°．同理AE=AC，∠EAC=60°．∴以点A为旋转中心将△ABE顺时针旋转60°就得到△CAD，∴△ABE≌△ADC，从而BE=DC．另法∵△ABD，△AEC都是等边三角形，∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠EAC=60°，于是∠CAD=∠CAB+∠BAD=∠CAB+∠EAC=∠EAB．从而有△CAD≌△EAB，∴DC=BE．点评由于旋转是刚体运动，旋转前、后的图形全等，所以藉此可以在较复杂的图形中发现等量（或全等）关系，或通过旋转（割补）图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，疏通解题

5、突破口．CBAED演变变式1如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，△EBC可以看作是△DAC经过什么图形变换得到的？说明理由．（人教课本P805题）ACBED说明：如上题图，去掉BC，把D，A，E放在一直线上即得．CABED本题经过下列各种演变，原来的结论仍保持不变．（1）△ABC与△CDE在BC的异侧．（2）点C在BD的延长线上．（3）C点在BD外．（4）△ACD与△BDE在BD的异侧，且D点在BC的延长线上．BCDAFEGACBEDCBAED（5）△ABC与△CDE都改为顶角相等的等腰三角形，即AB=AC，CE=

6、DE，∠BAC=∠CED．CBAEDBCAED变式2如图，四边形ABCD，ACFG都是正方形，则BG与CE有什么关系？说明理由．变式3如图，△ABD，△AEC都是等腰直角三角形，则BE与DC有什么关系？（2011广东河源）如图9,已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．（1）当△APC与△PBD的面积之生取最小值时，AP=；（直接写结果）（2）连结AD、BC，相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P的移动面变化？请说明理

7、由；（3）如图10，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）（2010广西桂林）如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连结EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是________．【答案】3(2007年黄冈市)如图，分别以的直角边AC，BC为边，在外作两个等边三角形和，连结BE，AF.求证：BE

8、=AF.ABCEEF.(08广东东莞/中山/汕头市)21.（本题满分9分）（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．BAODCE图8求∠AEB的大小；CBOD图7A（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，