2015步步高大一轮复习讲义§1.2-命题及其关系、充分条件与必要条件.doc

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1、§1.2　命题及其关系、充分条件与必要条件2014高考会这样考　1.考查四种命题的意义及相互关系；2.考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解，主要以客观题的形式出现；3.在解答题中考查命题或充分条件与必要条件．复习备考要这样做　1.在解与命题有关的问题时，要理解命题的含义，准确地分清命题的条件与结论；2.注意条件之间关系的方向性、充分条件与必要条件方向正好相反；3.注意等价命题的应用．1．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的

2、真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．[难点正本　疑点清源]1．等价命题和等价转化(1)逆命题与否命题互为逆否命题；(2)互为逆否命题的两个命题同真假；(3)当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假．2．集合与充要条件设集合A＝{x

3、x满足条件p}，B＝{x

4、x满足条件q}，则有(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分

5、不必要条件；(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A⃘B，且B⃘A，则p是q的既不充分也不必要条件．1．下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“若ab＝0，则a＝0”的否命题；③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题．其中真命题的序号是________(把所有真命题的序号填在横线上)．答案　②③解析　①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；②“若ab＝0，则a＝0”的否命题为“若ab≠0，则a≠0”，而由ab≠0，可得a，b都不

6、为零，故a≠0，所以该命题是真命题；③因为原命题“正三角形的三个角均为60°”是一个真命题，故其逆否命题也是一个真命题．2．“x>2”是“<”的________条件．答案　充分不必要解析　①x>2⇒2x>0⇒>⇒<，∴“x>2”是“<”的充分条件．②<⇒x<0或x>2D⇒/x>2.∴“x>2”是“<”的不必要条件．3．已知a，b∈R，则“a＝b”是“＝”的____________条件．答案　必要不充分解析　因为若a＝b<0，则≠，所以充分性不成立；反之，因为＝⇔＝⇔a＝b≥0，所以必要性成立，故“a＝b”是“＝”的必要不充分条件．4．(2011·天津)设集合

7、A＝{x∈R

8、x－2>0}，B＝{x∈R

9、x<0}，C＝{x∈R

10、x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案　C解析　因为A＝{x

11、x－2>0}＝{x

12、x>2}＝(2，＋∞)，B＝{x

13、x<0}＝(－∞，0)，所以A∪B＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，C＝{x

14、x(x－2)>0}＝{x

15、x<0或x>2}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)．即A∪B＝C.故“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.5．(2012·天津)设φ∈R，则“φ＝0

16、”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案　A解析　由条件推结论和结论推条件后再判断．若φ＝0，则f(x)＝cosx是偶函数，但是若f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)是偶函数，则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件.题型一　四种命题的关系及真假例1　已知命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是(　　)A．否命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞

17、)上是减函数，则m>1”是真命题B．逆命题“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”是假命题C．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”是真命题D．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题思维启迪：根据四种命题的定义判断一个原命题的逆命题、否命题、逆否命题的表达格式．当命题较简单时，可直接判断其真假，若命题本身复杂或不易直接判断时，可利用其等价命题——逆否命题进行真假判断．答案　D解析　命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，

18、所以其逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx