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时间:2020-10-12
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1、在第四冊我們曾提過:在一平面上,與一固定點O距離相等的所有點組成的圖形就是圓O。一個圓可以將平面分成圓的內部(包含圓心,如下圖藍色區域)、圓周以及圓的外部(如下圖黃色區域)。當我們要知道平面上任一點P與圓O的位置關係時,我們可以由P點到圓心O的距離OP與半徑r的大小關係來判斷:在一平面上,一條直線與一個圓會有什麼樣的位置關係呢?請同學們在白紙上先畫下一個圓,如下圖。再將直尺在紙上任意移動,並用筆沿直尺畫出直線若干條。觀察這些直線和圓的位置關係和相交情形,同學們不難發現,直線和一圓的位置關係以及相交情形可分成下列三類情形:(1)直線和圓沒有
2、交點(2)直線剛好與圓相交於一點(3)直線和圓相交於兩點點和圓的位置關係,可以用點到圓心的距離和圓的半徑來比較判斷,那麼直線和圓的位置關係,是不是也可以用圓心到直線的距離和圓的半徑來比較判斷呢?圓心到直線的距離是指什麼呢?直線L和圓O的位置關係可以由圓心O到直線L的距離與半徑r的大小關係來判斷。點到直線的距離的意義在第四冊裡已介紹過。如果OP與直線L垂直相交於P點(如右圖所示),那麼OP就是O點到直線L的距離。此時,若Q點是直線L上異於P的任一點,因為△OPQ為直角三角形,所以OQ>OP,故OP也是O點到直線L上任一點的最短距離。直線和圓的位置關
3、係已知圓O的半徑為r,(1)如圖2-1,直線L與圓O沒有交點,過圓心O畫一直線L1與直線L垂直且相交於P點。比較OP與半徑r的大小。答:OP>r。已知圓O的半徑為r,(2)如圖2-2,直線L與圓O相交於一點P,OP=半徑r嗎?量量看,OP與直線L垂直嗎?答:是,是。直線和圓的位置關係已知圓O的半徑為r,(3)如圖2-3,直線L與圓O相交於A、B兩點,過圓心O畫一直線L2與直線L垂直且相交於P點。比較OP與半徑r的大小。答:OP<r。直線和圓的位置關係由〔活動一〕我們看到:(1)如下圖,直線L與圓O沒有交點時,OP>r。(2)如圖2-4,直線L與圓
4、O相交於一點P時,透過測量,我們知道OP與直線L垂直。其實由於直線L與圓O相交於一點P,所以直線L上任一異於P點的Q點都在圓O的外部,因此OQ>OP,故OP為圓心O到直線L的距離,由此也可得知OP與直線L垂直,且OP等於圓O的半徑r。當圓O與直線L相交於一點P時,我們說直線L與圓O相切,並稱直線L為圓O的切線,P點為切點。(3)如圖2-5,直線L與圓O相交於A、B兩點時,連OA。因為△OPA為直角三角形,所以OP<OA=r。當直線L與圓O相交於兩點時,因為OP垂直弦AB,所以OP是圓心O到弦AB的距離,因此我們稱OP為弦AB的弦心距。直線L與圓O
5、相交於兩點時,我們稱直線L為圓O的割線。因此我們知道:1.圓心到切線的距離等於圓的半徑。2.圓心與切點的連線垂直過切點的切線。我們將上面的結果整理如下:一圓O的半徑為5,已知圓心O到三條直線L1、L2、L3的距離分別為3、5、7,試判斷直線L1、L2、L3和圓的位置關係。答:L1與圓O相交於兩點,L2與圓O相交於一點,L3與圓O不相交。弦心距平分其弦弦與其弦心距關係密切,請看下面的例子。如右圖,AB為圓O之一弦,OM⊥AB於M。試說明AM=BM。解:連接OA、OB,OA=OB=圓O半徑。〈方法一〉利用勾股定理可得AM2=OA2-OM2=OB2-O
6、M2=BM2所以AM=BM。兩長方形相似之判別如右圖,AB為圓O之一弦,OM⊥AB於M。試說明AM=BM。解:連接OA、OB,OA=OB=圓O半徑。〈方法二〉在直角△OAM和直角△OBM中,因為OA=OB,OM=OM,∠OMA=90°=∠OMB,我們可以得到△OAM△OBM(RHS全等性質),所以AM和BM會對應相等。由例題一我們得知:一弦的弦心距垂直平分此弦。弦心距與弦關係之應用解:(1)因為OM垂直平分AB,所以AM=AB=×6=3,由勾股定理知:OM2=OA2-AM2=25-9=16,所以OM=4。1212如右圖,在半徑為5的圓O中,
7、AB、CD為圓O的兩弦,OM⊥AB於M點,ON⊥CD於N點。(1)若弦AB=6,求弦AB的弦心距。弦心距與弦關係之應用解:(2)在直角△OND中,DN2=OD2-ON2=25-9=16,所以DN=4,又ON垂直平分CD,所以CD=2DN=2×4=8。如右圖,在半徑為5的圓O中,AB、CD為圓O的兩弦,OM⊥AB於M點,ON⊥CD於N點。(2)若弦CD的弦心距是3,求弦CD的長。如右圖,AB、CD與EF皆為圓O的弦,其弦心距分別為OX、OY與OZ。已知AB=10,OX=12,OZ=8,CD=24,求:(1)圓O的半徑。答:(2)OY的長。答:(3)
8、弦EF的長。答:設圓半徑為r,r2=OX2+AX2=122+52=132,r=13EF2=(2EZ)2=4EZ2=4(r2-OZ2)=4
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