内积的定义及性质PPT.ppt

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1、定义1内积一、内积的定义及性质说明1.维向量的内积是3维向量数量积的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．内积的运算性质定义2令向量的长度具有下述性质：二、向量的长度及性质证（1）和（2）是显然的，下面证明（3）.由Schwarz不等式，有从而即证毕于是有下列定义由Schwarz不等式，有故（当时），解单位向量夹角1.正交的概念2.正交向量组的概念若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组．三、正交向量组的概念及求法证明得左乘上式两端以,1aT0111=aalT3正交向量组的性质例1已知三维向量空间中两个向量正交，试求a3使构成三维空

2、间的一个正交基.４向量空间的正交基或解之得由上可知构成三维空间的一个正交基.则有解5规范正交基定义3设n维向量是向量空间V的一个基,如果两两正交且都是单位向量,则称是V的一个规范正交基.设表达式为为求其中的系数可用左乘上式，有即这就是向量在规范正交基中的坐标的计算公式。若是V的一个规范正交基，那么V中的任一向量a应能由线性表示，（1）正交化，取，６求规范正交基的方法（2）单位化，取施密特正交化过程解例2再把它们单位化，取几　何　解　释例解把基础解系正交化，即合所求．亦即取证明定义4四、正交矩阵与正交变换命题A为正交矩阵的充要条件是A的列向量都是单位

3、向量且两两正交．正交矩阵有如下性质（1）若A为正交矩阵，则A-1=AT也是正交阵.且

4、A

5、=1或（-1）.（2）若A和B都是正交阵，则AB也是正交阵(练习5:4题).因为ATA=E与AAT=E等价，所以上述结论对A的行向量亦成立。证(2).(1).性质正交变换保持向量的长度不变．证明例（练习5:2)判别下列矩阵是否为正交阵．定义5若P为正交阵，则线性变换y=Px称为正交变换．解所以它不是正交矩阵．考察矩阵的第一列和第二列，由于所以它是正交矩阵．由于例4解1．将一组基规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化．五、小结2．为正

6、交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：求一单位向量，使它与正交．思考题思考题解答练习五：1(计算题)，2(例题)，3(需证明H=HT和HHT=E)，4(例题).