信号与系统课件--第3章 连续信号与系统的频域分析.ppt

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1、第3章连续信号与系统的频域分析3.0引言3.1信号的正交分解3.2周期信号的连续时间傅里叶级数3.3周期信号的频谱3.4非周期信号的连续时间傅里叶变换3.5傅里叶变换的性质3.6周期信号的傅里叶变换3.7连续信号的抽样定理3.8连续系统的频域分析9/20/20211课件3.0引言LTI系统的特性完全可以由其单位冲激响应来表征，通过对LTI系统单位冲激响应的研究就可分析LTI系统的特性。9/20/20212课件3.1信号的正交分解3.1.1矢量的正交分解1.正交矢量图3.1-1两个矢量正交9/20/20213课件两矢量V1与V2正交时的夹角

2、为90°。不难得到两正交矢量的点积为零，即图3.1-2矢量的近似表示及误差9/20/20214课件所以最佳系数为9/20/20215课件若V1与V2正交，则θ=90°,cosθ=0，此时由式(3.1-2)得到的最佳系数c12=0。这表明当V1与V2正交时，用c12V2来近似表示V1还不如用0来近似V1。据此，我们可以把两个矢量V1与V2正交的概念解释如下：给定两个矢量V1和V2，现在要用与V2成比例的矢量c12V2近似地表示V1，要求误差矢量的模

3、Ve

4、最小(此时的c12称为最佳)。若最佳的c12=0，则V1与V2正交。由式(3.1-

5、2)可知，当两矢量V1与V2正交时，c12=0，即V1·V2=0。9/20/20216课件2.矢量的分解图3.1-3平面矢量的分解9/20/20217课件式中，V1·V2=0。9/20/20218课件图3.1-4三维空间矢量的分解9/20/20219课件上述矢量分解的概念可以推广到n维空间。由n个相互正交的矢量组成一个n维的矢量空间，而正交矢量集{V1,V2,…，Vn}为n维空间的完备正交矢量集。n维空间的任一矢量V，可以精确地表示为这n个正交矢量的线性组合，即式中，Vi·Vj=0(i≠j)。第r个分量的系数9/20/202110课件3

6、.1.2信号的正交分解1.正交函数设f1(t)和f2(t)为定义在(t1,t2)区间上的两个函数，现在要用与f2(t)成比例的一个函数c12f2(t)近似地代表f1(t)，其误差函数为9/20/202111课件设f1(t)、f2(t)均为复函数，此时，c12也可能为一复数系数。9/20/202112课件式中，“*”代表取共轭复数。将上式右边展开，得9/20/202113课件根据该式，9/20/202114课件上式中，据平方误差的定义知Ee≥0，式中惟一可供选择的参数为c12。为使Ee最小，只有选择c12=B，于是有9/20/202115课

7、件2.信号的正交展开设有一函数集｛g1(t),g2(t)，…，gN(t)｝，它们定义在区间(t1,t2)上，如果对于所有的i、j(可取1,2,…，N)都有则该函数集就称为区间(t1,t2)上的正交函数集。如果则称该函数集为归一化正交函数集。9/20/202116课件用一个在区间(t1,t2)上的正交函数集｛gi(t)｝中各函数的线性组合就可逼近定义在(t1,t2)区间上的信号f(t)，即这种近似表示所产生的平方误差为9/20/202117课件同样可以导出，欲使平方误差最小，其第r个函数gr(t)的加权系数cr应按下式选取：此时的平方误差为

8、(3.1-12)(3.1-13)9/20/202118课件定理3.1-1设｛gi(t)｝在(t1,t2)区间上是关于某一类信号f(t)的完备的正交函数集，则这一类信号中的任何一个信号f(t)都可以精确地表示为｛gi(t)｝的线性组合，即式中，ci为加权系数，且有式(3.1-14)称为正交展开式，有时也称为广义傅里叶级数，ci称为傅里叶系数。(3.1-14)(3.1-15)9/20/202119课件定理3.1-2在式(3.1-14)条件下，平方误差Ee=0，由(3.1-13)式有式(3.1-16)可以理解为：f(t)的能量等于各个分量的能量

9、之和，即能量守恒。定理3.1-2有时也称为帕塞瓦尔定理。(3.1-16)9/20/202120课件3.2周期信号的连续时间傅里叶级数3.2.1三角形式的傅里叶级数三角函数集｛cosnΩt,sinnΩt

10、n=0,1,2,…｝是一个正交函数集，正交区间为(t0,t0+T)。这里T=2π/Ω是各个函数cosnΩt，sinnΩt的周期。三角函数集正交性的证明可利用如下公式：9/20/202121课件上述正交三角函数集中，当n=0时，cos0°=1,sin0°=0，而0不应计在此正交函数集中，故一正交三角函数集可具体写为9/20/202122课件式

11、中，Ω=2π/T称为基波角频率，a0/2，an和bn为加权系数。式(3.2-5)就是周期信号f(t)在(t0,t0+T)区间的三角傅里叶级数展开式。由于f(t)为周期信号，且其周期T与三角函数