第四章 中值定理、导数的应用 高等数学ppt课件.ppt

《第四章 中值定理、导数的应用 高等数学ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第四章　中值定理、导数的应用一、微分中值定理二、未定式的定值法----洛必达法则三、函数的单调性四、函数的极值五、最大值与最小值、极值的应用本章用到的几个结论1.闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值2.3.2.几何意义:罗尔中值定理1.定理：若(1)在闭区间(2)在开区间，使得满足：上连续；(3)内可导；则至少存在一点一、微分中值定理证：3.举例例1利用罗尔定理考察曲线在内是否有水平切线。解：满足(1)在上连续；内可导；=所以满足罗尔定理，至少存在一点在，使得(2)在(3)即曲线在处有水平切线。如何确定满

2、足罗尔定理中的值?由可知，使的点即为满足罗尔定理的点。解得：即所以曲线上过点处的切线平行于轴。所以有例不用求出函数的导数，说明在内是可导函数，且故在区间上分别满足罗尔中值定理的条件，则使得又因为是三次代数方程，它最多只有3个实根，因此有且仅有3个实根，它们分别位于区间解：由于有几个实根，并指出它们所在的位置．至少存在内．罗尔中值定理中的三个条件是必须满足的，缺一不可。4.罗尔中值定理的几点说明2.几何意义:拉格朗日中值定理函数则至少存在一点使得满足：(1)在闭区间上连续，(2)在开区间内可导，1.拉格朗日中

3、值定理3.拉格朗日定理的几种不同表达形式可写成①取③取②取4.当时，罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况。5.推论推论1：若函数在区间内任意一点的导数都为零，则函数在内是一个常数。即：推论2：若函数在区间内任意一点都有则这两个函数在此区间上最多差一个常数。即：例1问函数f(x)=x3–3x在[0,2]满足拉格朗日定理的条件吗？如果满足请写出其结论.解：显然f(x)在[02]上连续,在(02)内可导,所以函数f(x)满足拉格朗日中值定理。因f(x)=3x2–3所以有等式：6.举例例2证明不等式证明：设，则在区间

4、上满足拉格朗日定理。由及有证毕。例3证明不等式对一切成立．证明：设，对任意在拉格朗日中值定理，则至少存在一点上满足使得由于上式即柯西中值定理1.定理若和满足条件：上连续；内可导且；(1)在闭区间(2)在开区间则至少存在一点使得2.几何意义2.结论柯西定理中当时，拉格朗日定理中当时，柯西中值定理拉格朗日中值定理罗尔中值定理罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况，拉格朗日定理是柯西定理的特殊情况。中值定理的一个重要应用就是提供了求类似于和类型不定式的极限方法。例设函数与满足（1）在区间上连续；（2）在区间内可导，（3

5、）则至少存在一点使得二、未定式的定值法----洛必达法则返回首页分析：1.洛必达法则定理1若函数与在的某去心邻域内可导，且（1）（2）（3）存在（或为）则定理2若函数(1)(2)与在的某去心邻域内可导，且(3)存在，（或为）则备注只需对两个定理中的假设(2)作相应的修改，结论仍然成立。2.举例例1求极限（）解：需采取其他方式求极限例2求下列极限（）解：遇到指数函数求极限时，一定要讨论自变量是从“+”还是“-”方向变化的。注：3.课堂练习：求极限其他类型未定式未定式还有等类型，它们可以通过恒等变形或简单变换将

6、然后再利用洛比达法则进行计算。类型转化为或类型举例例1求下列极限：解：解：解：解：解：课堂练习解：使用罗比达法则的说明(1)注意检验洛必达法则定理中的条件；(2)使用罗比达法则后，一般要整理化简；(3)化简后，如仍属未定式，可以继续使用罗比达法则；(4)使用中应注意结合运用其他求极限的方法，如等价无穷小替换，作恒等变形或适当的变量代换等，以简化运算过程；(5)如果所求极限不满足罗比达法则条件时，则需改用其它求极限的方法．例极限存在吗？能否用洛比达法则求其极限？所以极限存在。解：因其极限为型，若用洛比达法则求

7、极限，有不存在，故不能使用洛比达法则。利用罗比达法则求极限１.单调性的判别法三、函数的单调性定理：返回首页证由拉格朗日定理，得例解注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.●导数等于零的点和导数不存在的点可能是单调区间的分界点．方法:2．单调区间求法问题：如果函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上是单调的，如何确定各单调区间的分界点。例解单调区间为例

8、解单调区间为例证四、函数极值返回首页1.极值概念的导入定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.2.几何意义函数的极值点可能取自以下几种情况。如图所示。不存在的点。的点。(1)使得(2)使得ab3.寻找极值点的方法在使的点和不存在的点中寻找。注：由前述可知满足上述条件的点未必都是的极值点。如使得的导数为零，而是一个不是的极值点。单调增加函数，所以4.极值存在定理●定理（极值存在的必要条件）