第四章 矩阵分析及矩阵函数ppt课件.ppt

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1、第四章矩阵分析及矩阵函数4.1矩阵分析4.2矩阵函数4.3线性常系数微分方程4.4变系数微分方程组4.1矩阵分析定义4.1.1令是的矩阵序列，假如存在一个的矩阵A，　，即当时，与无限制的靠近,则称序列收敛到A,记为:4.1.1基本概念矩阵序列收敛个一般序列收敛每一个矩阵表示成,并且.定理4.1.1矩阵序列收敛于矩阵A的充分必要条件是对所有成立。关于矩阵序列极限的性质，考虑其中二个。定理4.1.2　令和是和矩阵，并且分别收敛到A和B,那么：推论1令是收敛于A的矩阵序列，分别是矩阵，那么4.1.1.2矩阵级数假如其收敛到,记则级数,收敛到.定义4.1.2令是矩阵序列，构造部分和序列收敛，当且仅当矩

2、阵序列收敛，即当且仅当任给,存在，任意正整数只要都有定理4.1.3(Cauchy收敛准则)定理4.1.4若数项级数收敛，则矩阵级数收敛。特别地，对于方阵，如果级数收敛，则矩阵幂级数收敛.例4.1.2定理4.1.5设幂级数的收敛半径是，则当方阵的范数时，矩阵幂级数收敛。4.1.2矩阵的微分和积分4.1.2.1函数矩阵及其极限定义4.1.3如果矩阵的每一个元素都是变量的函数，则定义4.1.4如果对任意，都有，则称矩阵在时极限为。性质1如果,以下性质成立：（1）  若都是矩阵，则（2） 若分别是和矩阵，则（3） 设是常数，则定义4.1.5设函数矩阵中所有元素在处连续，则称在处连续，如果所有元素在内每

3、一点连续,称在内连续，如果在内连续，并且所有的在点右连续，在点左连续，则称在上连续.4.1.2.2函数矩阵的微分定义4.1.6设函数矩阵中所有元素都在点或某区间内可微，则称矩阵在点或某区间内是可微的,若可微，其导数如下：同样，的高阶导数可以定义为类似于数量函数的导数记法，可以将上式记成性质2设函数矩阵都可微(1)若为常数，则（2）若与是同型矩阵，则(3)若是矩阵，是矩阵，则特别的，如果或是常数矩阵或,就有4.1.3函数矩阵的积分定义4.1.7如果矩阵的每个元素都是区间上的可积函数，则定义在上的积分为性质3若是上的可积函数矩阵，则都是矩阵；分别是和矩阵，并且与无关.分别是和矩阵，并且与无关。(4

4、)当对所有在上连续时，就称在上连续,且有当都在上连续时，则4.1.2.4数量函数关于矩阵的微分在场论中，对数量函数,定义梯度如下：可以理解为函数对向量的导数。定义4.1.8设对有偏导数，定义对向量导数为对向量的导数为一般地，假如对每个都有偏导数，则定义数量函数对矩阵的导数为例4.1.54.2.1矩阵函数的定义及性质4.2矩阵函数定义4.2.1设一元函数能够展开为的幂函数其中表示该幂级数的收敛半径.当n阶矩阵满足时，把收敛的矩阵幂级数的和称为矩阵函数，记为,即如下函数:在整个复平面上都是收敛的.于是矩阵幂级数都是绝对收敛的。因此它们有和并且有分别称以上三式是矩阵的指数函数，余弦函数和正弦函数。定

5、理4.2.1对于方阵的函数容易验证以下性质：值得注意的是，在微积分中，我们对指数函数有如下性质,但矩阵函数的第（3）条性质中指出，这样一条性质必须有条件保证。否则，一般不成立。例如，令易证互不相等4.2.2矩阵函数的计算4.2.2.1待定系数法用待定系数法，计算矩阵函数是基于每个矩阵存在最小多项式的前提下进行的，假设A∈的最小多项式是（4.2.6）多项式可以写成，其中的次数低于的次数。由于有，所以。另一方面，我们可以将A的最小多项式(4.2.6)写成(4.2.7)其中是A的互异的特征值定义4.2.2在A的谱上确定:设A的最小多项式是，如(4.2.6)所示，如果复函数在A的谱上有下述确定的值。（

6、4.2.8）称在A的谱上确定，并称(4.2.8)中的r个数为在A的谱上的值。推论1每个复多项式在任何的谱上确定。例4.2.1例4.2.2例4.2.3例4.2.4定理4.2.2设和是两个复多项式，两者的次数和系数均可以不同,，则的充分必要条件是和在A的谱上的值完全相同。4.2.2.2利用Jordan标准形计算矩阵函数实际过程中，可以将无穷级数求和的问题化为多项式求和问题。假设矩阵A的最小多项式是则有当时，可降为低于的幂次，矩阵多项式问题幂级数定义的矩阵函数问题计算的关键：计算。下面分A是不同情况进行讨论(1)A是对角矩阵设则(2)A是对角形分块矩阵其中为A的子方阵由于分块矩阵的乘积与矩阵乘积类似

7、故对于上述分块矩阵A，有(3)A为一般矩阵时的计算方法存在方阵使得，因此。若则其中是的重特征根则且矩阵A的函数可化为A的Jordan块的函数问题；的函数；计算实质上是计算的Jordan块下面来具体计算Jordan块的函数。设则于是（4.2.9）首先观察为了计算，将展开成Taylor级数（4.2.10）由代入(4.2.10)得到（4.2.11）当时，.于是(4.2.10)可以写成（4.2.12）将(