中考数学专题复习--“PA+kPB”最值探究(胡不归+阿氏圆)-学案.docx

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1、“胡不归”与“阿氏圆”背景：初中几何常见考查线段最值问题，解决问题本质思想有两个：在平面内①两点之间线段最短②垂线段最短思想两点之间线段最短垂线段最短体现三角形三边关系(三角形两大模型边的关系)直角三角形斜边大于直角边将军饮马大类将军饮马特例费马点平行线间垂线段最短圆外一点与圆上点距离最值垂径定理相关最值阿氏圆胡不归(三边关系)若四边形的一组对边中点的连线的长为d，另一组对边的长分别为3、5，则d的最大值是_____(斜边大于直角边)如图，已知AB=10，P是线段AB上的任意一点，在AB的同侧分别以AP、P

2、B为边作等边三角形APC和等边三角PBD，求CD的最小值(费马点)已知正方形ABCD内一点，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长(圆外一点与圆上点距离最值)如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，求A′C长度的最小值如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=12，BC=8，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，求线段CP长的最小值(将军饮马特例)如图，在锐角△ABC中，A

3、B=8，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则求BM+MN的最小值.(垂径定理相关最值)如图，点A在半径为3的⊙O内，OA=，P为⊙O上一点，当∠OPA取最大值时，PA的长等于____.答案：4；5；2；；4；；BUT以上专题不作为我们今天的主题，TODAYWESTUDY:“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。当k取任意

4、不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。胡不归前景引入：从前，有一个小伙子在外地读书，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。由于着急的不行，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，

5、当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…何以归”。这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。胡不归问题探究：已知：AC上方为砂地，速度为V2，AC上则为平地，速度为V1,路线1：走AB路线2：走AD后再走DB求解：D在何处所花时间最短？问题解决：路线1时间：路线2时间：关键点：将V1转化为V2作∠CAE=∠α，使得过点B作BE⊥AE交AC与点D

6、,则D为所求点，此时：则路线2时间变为：模型归纳：在当V2等于1个单位每秒，V1等于个单位每秒时，则路线2所用时间变为了，即PA+k·PB型的最值问题模型说理：如下图，A,B为定点，P为射线BM上一点，求PA+k·PB的最小值及确定P点的位置分析：关键是转化k·PB的大小，构造∠NBM，使sin∠NBM=k，过P作PQ⊥BN与点Q,此时PQ=PB·sin∠NBM=k·PB求PA+k·PB的最小值转化为求PA+PQ的最小值，则过A作AQ⊥BN与点Q交BM于点P,此时AQ即为最小值，P为所求点本质：垂线段最短解

7、题步骤：1.将所求线段写成PA+k·PB的形式（0

8、值为AN.在Rt△ABN中，AN=AB·sin∠ABC=.∴AM+BM的最小值为.变式思考：(1)改为求2AM+BM的最小值？AM+BM+CM的最小值？(2)改为求AM+2BM的最小值？例2：如图所示，点A为直线l外一定点，点B,C为直线l上两点，且AB=2，∠ABC=15°，点P为直线l上的动点，请确定点P的位置，使AP+BP最小，并求出这个最小值。变式思考：改为求2AP+BP的最小值？例3：如图，P为正方形A