中考复习讲义-相似三角形综合应用.doc

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1、相似三角形综合应用中考说明内容基本要求略高要求相似三角形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题自检自查必考点模型一角分线模型1、内角平分线是的角平分线，则【证明】过作交直线于.∵，∴，又∵平分，∴，∴，∴，由可得：，∴2、外角平分线的外角平分线交对边的延长线于，则【证明】过作交直线于.∵，∴，又∵平分，∴，∴，∴，由可得：，∴模型二梯形模型若，则中考满分必做题考点一与公共边有关的相似问题【例1】如图，在矩形中，对角线、相交于点，为的中点，连接交于，连接，若，则下列四对三角形：①与；②与

2、；③与；④与，其中相似的为（）A．①④B．①②C．②③④D．①②③【答案】D【解析】②，∴，故【例2】如图，矩形中，于，恰是的中点，下列式子成立的是（）A．B．C．D．【答案】A【例1】如图，中，于，于，于，交于，、的延长线交于点，求证：.【解析】可通过射影定理转化成证明，证明∽即可.【例2】如图，中，，于为的中点，的延长线交于．求证：．【答案】∵，为中点，∴，∴，又∵，∴，又∵，，∴，又∵，∴，∴，∴．【巩固】在中，过直角顶点作斜边的垂线，取的中点，连接并延长交的延长于点，求证：【解析】，【例1】如图，在中，平分，的垂直平分线交于，交的延长线于，求证：

3、．【答案】连接∵垂直平分，∴，∴，即，又∵，∴，∵平分，∴，∴，又∵，∴，∴．又∵，∴【巩固】如上图，在中，，的垂直平分线交于，交的延长线于，求证：平分．【答案】连接，∵垂直平分，∴，∵，∴∴，又∵∴，∴，∵，，∴，∴，即平分．【例2】已知，如图，为等边三角形，且的两边交直线于两点，求证：．【解析】∵，∴．又∵，∴，∴，∵，∴∴，∴，即，∵，∴．考点二与旋转有关的相似问题【例1】如图，直角梯形中，，，，为梯形内一点，且，将绕点旋转使与重合，得到，连交于．已知，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C．【例2】如图，四边形和均为正方形，求_________.

4、【答案】连接。∵，∴∴∵∴∵∴∴∴∴∴【例1】（1）如图1，等边中，为边上的动点，以为一边，向上作等边，连接，求证：．（2）如图2，将（1）中的等边改为以为底边的等腰三角形，所作的改成相似于，请问：是否有？证明你的结论．【答案】（1）由，得，故．（2）由，得，故．考点三与三角形有关的相似综合题【例2】如图，内有一点，过作各边的平行线，把分成三个三角形和三个平行四边形．若三个三角形的面积分别为，则的面积是________．【解析】设的面积为，则，故．【答案】【例3】如图所示，是一个凸六边形，、、分别是直线与、与、与的交点，、、分别是与、与、与的交点，如果，

5、求证：．【答案】本题的条件和结论都是三个线段之比的连等式，且、、构成一个与相似的三角形的三边，因而可以考虑通过平移变换将、、集中到一起构成一个与相似的三角形．如图所示，将平移至位置，则，且，所以，且，因此，从而，且．这说明，且，进而，且．又因为，于是，所以，注意到，，故．【例1】已知：的高所在直线与高所在直线相交于点．（1）如图l，若为锐角三角形，且，过点作，交直线于点，求证：；（2）如图2，若，过点作，交直线于点，则之间满足的数量关系是_________；（3）在（2）的条件下，若，，将一个角的顶点与点重合并绕点旋转，这个角的两边分别交线段于两点（如图

6、3），连接，线段分别与线段、线段相交于两点，若，求线段的长．【答案】（1）证明：∵∴，∴∵，∴∵，∴∵，∴∴∵∴，∴∴，∴（2）（3）如图，∵，∴∵，∴，∴∵，∴，∴∵∴∵，由（2）知，∴∴，∴为等腰直角三角形∴分别过，作于点于点∴四边形为矩形∴∴，∴∵∴∴∵∴∵∴∴∴∴∵∴∵∴∴∵∴∴，∴∴∴考点四与相似有关的动点问题【例1】如图，中，，点从出发，沿方向以的速度移动，点从出发，沿方向也以的速度移动，若分别从出发，经过多少时间与相似？【答案】∵，设，∴，即，解得（负值已舍去）∴设经过后与相似．此时本题需分两种情况：（1）当时，，即，解得（2）当时，，即，

7、解得．综上，当秒或秒时，与相似【例1】如图，在矩形中，，点沿边从点开始向点以秒的速度移动，点沿边以秒的速度从点开始移动，如果同时出发，用（秒）表示移动的时间．（1）当为何值时，为等腰直角三角形？（2）求四边形面积，提出一个与计算结果相关的正确结论．（3）当为何值时，以点为顶点的三角形与相似．【答案】（1）当为等腰直角三角形时，，∴，（2），即四边形的面积为定值．（3）分2种情况①当时，，即，解得．②当时，，即，解得．综上当或时，以点为顶点的三角形与相似．中考满分必做题【例1】如图，已知在等腰△ABC中，∠A＝∠B＝30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D．

8、若过A，D，C三点的圆的半径为，则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶