第十讲无穷级数ppt课件.ppt

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1、第十讲无穷级数一、数项级数的审敛法二、幂级数三、傅里叶级数一、常数项级数的概念引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积A.设a0表示即内接正三角形面积,ak表示边数增加时增加的面积,则圆内接正机动目录上页下页返回结束定义：给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第n项叫做级数的一般项,级数的前n项和称为级数的部分和.次相加,简记为收敛,则称无穷级数并称S为级数的和,记作机动目录上页下页返回结束当级数收敛时,称差值为级数的余项.则称无穷级数发散.显然机动目录上页下页返回结束例1.讨论

2、等比级数(又称几何级数)(q称为公比)的敛散性.解:1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为机动目录上页下页返回结束2).若因此级数发散;因此n为奇数n为偶数从而综合1)、2)可知,时,等比级数收敛;时,等比级数发散.则级数成为不存在,因此级数发散.机动目录上页下页返回结束例2.判定下列级数的敛散性（1）（3）（2）例3.判别下列级数的敛散性:解:(1)所以级数(1)发散;技巧:利用“拆项相消”求和机动目录上页下页返回结束(2)所以级数(2)收敛,其和为1.技巧:利用“拆项相消”求和机动目录上页下页返回结束二

3、、无穷级数的基本性质说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.但若二级数都发散,不一定发散.例如,(1)性质1表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)机动目录上页下页返回结束例4.利用性质判断下列级数的敛散性:解:考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.机动目录上页下页返回结束（1）（2）解:所以级数(2)发散（3）解:所以级数(3)发散（1）（2）思考与练习判断下列级数的敛散性:（3）（4）若收敛，判断下列级数的敛散性:三、正项级数及其审敛法若定理1.正项级数收敛部分和序列有界.则称为正项级数.机动目录上页下页

4、返回结束定理2(比较审敛法)设且存在对一切有(1)若“大”级数则“小”级数(2)若“小”级数则“大”级数则有收敛,也收敛;发散,也发散.是两个正项级数,(常数k>0),机动目录上页下页返回结束例1.讨论p级数(常数p>0)的敛散性.解:1)若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知p级数发散.发散,机动目录上页下页返回结束2)若p级数收敛.证明级数发散.证:因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例2.机动目录上页下页返回结束定理3.(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当l=0(3)当l=∞设两正项

5、级数满足(1)当0

6、上页下页返回结束思考与练习用比值判别法判定下列级数的敛散性(1)(2)(3)定理5.根值审敛法(Cauchy判别法)设为正项级则数,且机动目录上页下页返回结束时,级数可能收敛也可能发散.例6.用根值法判定下列级数的敛散性(1)(2)例7.证明级数收敛于S,似代替和S时所产生的误差.解:由定理5可知该级数收敛.令则所求误差为并估计以部分和Sn近机动目录上页下页返回结束四、交错级数及其审敛法则各项符号正负相间的级数称为交错级数.定理6.(Leibnitz判别法)若交错级数满足条件:则级数收敛,且其和其余项满足机动目录上页下页返回

7、结束收敛收敛用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性:上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛机动目录上页下页返回结束五、绝对收敛与条件收敛定义:对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级收敛,数为条件收敛.例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛.机动目录上页下页返回结束定理7.绝对收敛的级数一定收敛.例8.判定下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(1)(2)(3)条件收敛.绝对收敛；发散例9.证明下列级数绝对收敛:证:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.机动目录上页下页返回结束(2

8、)令因此收敛,绝对收敛.机动目录上页下页返回结束内容小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数审敛法必要条件不满足发散满足比值审敛法根值审敛法收敛发散不定比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限机动目录上页下页返回结束3.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:则