2019届百师联盟全国高三模拟考(二)全国Ⅱ卷数学(理)试题(解析版).doc

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1、2019届百师联盟全国高三模拟考(二)全国Ⅱ卷数学(理)试题一、单选题1.集合,则集合的真子集的个数是A.1个B.3个C.4个D.7个【答案】B【解析】由题意,结合集合,求得集合,得到集合中元素的个数,即可求解,得到答案.【详解】由题意,集合,则,所以集合的真子集的个数为个,故选B.【点睛】本题主要考查了集合的运算和集合中真子集的个数个数的求解,其中作出集合的运算,得到集合,再由真子集个数的公式作出计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.2.已知复数,满足,则()A.1B.C.D.5【答案】A【解析】首先根据复数代数形式的除法运

2、算求出,求出的模即可.【详解】解:,,故选:A【点睛】本题考查了复数求模问题,考查复数的除法运算,属于基础题.3.设命题函数在上递增,命题在中,,下列为真命题的是()A.B.C.D.【答案】C【解析】命题:函数在上单调递减,即可判断出真假.命题:在中,利用余弦函数单调性判断出真假.【详解】解:命题:函数,所以,当时,,即函数在上单调递减,因此是假命题.命题:在中,在上单调递减,所以,是真命题.则下列命题为真命题的是.故选:C.【点睛】本题考查了函数的单调性、正弦定理、三角形边角大小关系、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,

3、属于基础题.4.已知等比数列的前项和为,且满足,则的值是()A.B.C.D.【答案】C【解析】利用先求出,然后计算出结果.【详解】根据题意,当时,,,故当时,,数列是等比数列,则,故,解得,故选.【点睛】本题主要考查了等比数列前项和的表达形式,只要求出数列中的项即可得到结果,较为基础.5.已知,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解.【详解】解:,,,即,故选:D【点睛】本题考查三个数的大小的比较,考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,属于基础题.6.

4、如图,四边形为平行四边形,为中点,为的三等分点(靠近)若,则的值为()A.B.C.D.【答案】D【解析】使用不同方法用表示出,结合平面向量的基本定理列出方程解出.【详解】解:,又解得,所以故选:D【点睛】本题考查了平面向量的基本定理及其意义,属于基础题.7.若变量,满足,则的最大值为()A.3B.2C.D.10【答案】D【解析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义求解最大值即可.【详解】解:画出满足条件的平面区域,如图示:如图点坐标分别为,目标函数的几何意义为,可行域内点与坐标原点的距离的平方,由图可知到原点的距离最大,故.

5、故选:D【点睛】本题考查了简单的线性规划问题,考查数形结合思想,属于中档题.8.如图在一个的二面角的棱有两个点,线段分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于棱,且,则的长为()A.4B.C.2D.【答案】A【解析】由,两边平方后展开整理,即可求得,则的长可求.【详解】解:,,,,,,.,,故选:.【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系,考查了空间想象能力,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.9.已知函数,则()A.函数在上单调递增B.函数在上单调递减C.函数图像关于对称D.函数图像关于对称【

6、答案】C【解析】依题意可得,即函数图像关于对称,再求出函数的导函数,即可判断函数的单调性;【详解】解:由,,所以函数图像关于对称,又,在上不单调.故正确的只有C,故选:C【点睛】本题考查函数的对称性的判定,利用导数判断函数的单调性,属于基础题.10.若函数在时取得最小值,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】利用辅助角公式化简的解析式,再根据正弦函数的最值,求得在函数取得最小值时的值.【详解】解:,其中,,,故当,即时,函数取最小值,所以,故选:D【点睛】本题主要考查辅助角公式,正弦函数的最值的应用,属于基础题.11.已知一个三棱

7、锥的三视图如图所示,其中三视图的长、宽、高分别为,,,且,则此三棱锥外接球表面积的最小值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】根据三视图得到几何体为一三棱锥,并以该三棱锥构造长方体,于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球,进而得到外接球的半径,求得外接球的面积后可求出最小值.【详解】由已知条件及三视图得,此三棱锥的四个顶点位于长方体的四个顶点,即为三棱锥,且长方体的长、宽、高分别为,∴此三棱锥的外接球即为长方体的外接球,且球半径为,∴三棱锥外接球表面积为,∴当且仅当,时,三棱锥外接球的表面积取得最小值为.故选B.【点睛】(1)解

8、决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径,同时要作一圆面起衬托作用.(2)长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线,对于一些比较特殊的三棱锥,在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体,通过长

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