第二章1插值法ppt课件.ppt

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1、第2章插值法12.1引言2.2Lagrange插值2.3均差与Newton插值多项式2.4Hermite插值2.5分段低次插值2.6三次样条插值2§2.0为什么要研究插值法插值法是广泛应用于理论和实践的重要数值方法,它是用简单函数(特别是多项式或分段多项式)为离散数组建立连续模型;为非有理函数提供好的逼近方法。众所周知,反映自然规律数量关系的函数大致有三种表示方法:解析表达式图象法表格法39/19/20213§2.0为什么要研究插值法许多函数关系数据是用表格法给出(如观测和实验得到的数据)。但用离

2、散的函数值进行理论分析和设计,是不方便或是不可能的。因此需要寻找与已知函数值相符,并且形式简单的插值函数(或近似函数)。另外一情况是,函数表达式给定,但其形式不适宜计算机使用,一些涉及连续变量问题的计算需经过离散化后才能进行。如数值积分方法、数值微分方法、差分方程以及有限元法等,都必须直接或间接地应用到插值理论和方法。49/19/202142.1引言设函数在区间上有定义,且已知在点上的值,函数,(1.1)成立,就称为的插值函数,点称为插值节点,包含节点的区间称为插值区间,求插值函数若存在一简单使的

3、方法称为插值法.2.1.1插值问题的提出5插值函数p(x)作为f(x)的近似,可以选自不同类型的函数,如p(x)为代数多项式、三角多项式、有理分式;其函数性态可以是光滑的、亦可以是分段光滑的。其中,代数多项式类的插值函数占有重要地位:(a)结构简单、计算机容易处理、任何多项式的导数和积分也易确定。(b)著名的Weierstrass逼近定理(定义在闭区间上的任何连续函数f(x),存在代数多项式p(x)一致逼近f(x),并达到所要求的精度)。因此,我们主要考虑代数多项式的插值问题。69/19/2021

4、6(1.2)若是次数不超过n的代数多项式,即其中为实数,就称为插值多项式,本章只讨论多项式插值与分段插值.若为分段的多项式,就称为分段插值.若为三角多项式,就称为三角插值.相应的插值法称为多项式插值.7x0,x1,…,xn插值节点,函数P(x)称为函数y=f(x)的插值函数,区间[a,b]称为插值区间。89/19/20218插值的几何意义从几何上看,插值就是求一条曲线使其通过给定的个点,并且与已知曲线有一定的近似度。从几何上看x0yy=p(x)a=x0x1x2x3xn=b•(xi,yi)y=f(x

5、)曲线P(x)近似f(x)99插值问题是否可解.若有解,是否唯一.如何求插值函数P(x).P(x)与f(x)的误差如何估计.当插值节点无限加密时,P(x)是否收敛于f(x).插值法的研究内容10【问题】设函数在区间上有定义,且已知在点上的值,的多项式,使得(1.3)求次数不超过n2.1.2插值多项式的存在唯一性11在次数不超过的多项式集合中,满足条件(1.3)的插值多项式是存在唯一的.由(1.3)式得到关于系数的线性方程组因此,线性方程组(1.3)的解存在唯一,证毕.定理1证明其系数矩阵的行列式(

6、是Vandermande行列式)(1.4)(1.5)12插值余项与误差估计若在上用近似,设在上连续,在内存在,节点是满足条件(2.6)的插值多项式,则对任何,插值余项这里且依赖于,则其截断误差为也称为插值多项式的余项.定理213余项表达式只有在的高阶导数存在时才能应用.但在内的具体位置通常不可能给出,如果可以求出那么插值多项式逼近的截断误差限是142.2.1线性插值与抛物插值对给定的插值点,可以用多种不同的方法求得形如(1.2)的插值多项式.先讨论的简单情形.【问题】给定区间及端点函数值,要求线性

7、插值多项式,2.2Lagrange插值使它满足15其几何意义就是通过两点的直线.图2-2如图2-2.16由的几何意义可得到表达式(点斜式),(两点式),(2.1)由两点式看出,是由两个线性函数(2.2)的线性组合得到,其系数分别为及,即(2.3)17显然,及也是线性插值多项式,在节点及称及为线性插值基函数,上满足条件图形见图2-3.18图2-319下面讨论的情形.假定插值节点为,,,要求二次插值多项式几何上是通过三点的抛物线.可以用基函数的方法求的表达式,此时基函数(2.4)使它满足是二次函数,且

8、在节点上满足条件20接下来讨论满足(2.4)的插值基函数的求法,以求为例,由插值条件,它应有两个零点及,可由插值条件定出其中为待定系数,于是可表示为21同理二次插值基函数,,在区间上的图形见图2-4.22图2-423利用,,,(2.5)显然,将,,代入(2.5),立即得到二次插值多项式它满足条件得242.2.2拉格朗日插值多项式将前面的方法推广到一般情形,讨论如何构造通过个节点的次插值多项式.(2.6)根据插值的定义应满足先定义次插值基函数.为构造,25定义1若次多项式在个节点(2

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