第二节 函数的单调性与最值.doc

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1、函数的单调性1．下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是(　　)A．y＝－x　B．y＝x2－xC．y＝lnx－xD．y＝ex－x答案A　[对于A，y1＝在(0，＋∞)内是减函数，y2＝x在(0，＋∞)内是增函数，则y＝－x在(0，＋∞)内是减函数；B，C选项中的函数在(0，＋∞)上均不单调；选项D中，y′＝ex－1，而当x∈(0，＋∞)时，y′＞0，所以函数y＝ex－x在(0，＋∞)上是增函数．]2．函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)答案D　[由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2.因此，函数f(

2、x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)，注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．]3．若函数f(x)＝x2＋a

3、x

4、＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a的取值范围是(　　)A.B．[－6，－4]C．[－3，－2]D．[－4，－3]答案B　[由于f(x)为R上的偶函数，因此只需考虑函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f(x)在[3，＋∞)上为增函数，在[1,2]上为减函数，故－∈[2,3]，即a∈[－6，－4]．]4．已知

5、函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是(　　)A.B.C.D.答案D　[因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x－1)＜f.所以0≤2x－1＜，解得≤x＜.]5．已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋∞)上一定(　　)A．有最小值B．有最大值C．是减函数D．是增函数答案D　[由题意知a＜1，若a≤0，则g(x)＝x＋－2a在(1，＋∞)上单调递增；若0＜a＜1，g(x)＝x＋－2a在(，＋∞)上单调递增，则g(x)在(1，＋∞2)上单调递增．综上

6、可得，g(x)＝x＋－2a在区间(1，＋∞)上是增函数．故选D.]6．函数f(x)＝－的值域为________．答案[－，]　[因为所以－2≤x≤4，所以函数f(x)的定义域为[－2,4]．又y1＝，y2＝－在区间[－2,4]上均为减函数，所以f(x)＝－在[－2,4]上为减函数，所以f(4)≤f(x)≤f(－2)，即－≤f(x)≤.]7．若f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围是________．答案　[解得所以a∈.]8．已知f(x)＝不等式f(x＋a)＞f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，－2)　[二次函数y1＝x2－4x＋3

7、的对称轴是x＝2，∴该函数在(－∞，0]上单调递减，∴x2－4x＋3≥3，同样可知函数y2＝－x2－2x＋3在(0，＋∞)上单调递减，∴－x2－2x＋3＜3，∴f(x)在R上单调递减，∴由f(x＋a)＞f(2a－x)得到x＋a＜2a－x，即2x＜a，∴2x＜a在[a，a＋1]上恒成立，∴2(a＋1)＜a，∴a＜－2，∴实数a的取值范围是(－∞，－2)．]2