第二章 机器人运动学ppt课件.ppt

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1、第二章机器人运动学前言机器人可以看作是由一系列连杆通过运动副连接起来的机构。在研究机器人的运动时，不仅需要采用某种数学方法来描述机器人各连杆之间以及连杆与操作对象之间的相互关系，而且需要描述机器人各连杆与操作对象的位置和方位（简称位姿）、速度和加速度。主要介绍矩阵法。图2.0.1关节型机器人图2.0.2直角坐标型机器人§2.1位姿描述和齐次变换一、刚体位姿的描述机器人系统的各连杆、操作对象以及工具等都可以看作为刚体。对于一个刚体，当给定其上某点的位置和该刚体的方位时，该刚体在空间可以得到完全定位。1．位置的描述如图2.1.1所示，坐标系（简称系）为固定坐标系，又称基坐标系，为空间

2、一个刚体，为刚体上任意一点。这时，刚体在系的位置可以用点在系中的坐标表示（2-1-1）式中，矢量左上角的说明该矢量是在坐标系中表示的。图2.1.1刚体位置描述2．方位（姿态）的描述在刚体上点建立一个坐标系（简称系），该坐标系与刚体固接。当刚体运动时，坐标系随刚体一起运动，故此坐标系又称为动坐标系。刚体在空间的方位可以用动坐标系各坐标轴相对基坐标系各坐标轴之间夹角的余弦函数来表示（2-1-2）称为方向余弦矩阵或旋转矩阵，上标代表坐标系，下标代表坐标系。中有九个元素，但只有三个是独立的。并且的逆矩阵与它的转置矩阵相同；其行列式等于1。即，（2-1-3）故旋转矩阵为单位正交矩阵。当刚体

3、分别绕某直角坐标系中的、、轴旋转时，其旋转变换是一般旋转变换的特例，因此由式（2-1-2）可得分别绕、、轴旋转角时，其旋转变换矩阵如（2-1-4）（2-1-5）（2-1-6）3．位姿的描述刚体在基坐标系中的位姿可以用动坐标系相对于基坐标系的位置和方位来表示，即（2-1-7）二、坐标变换和齐次变换1.坐标变换（1）平移坐标变换如图2.1.2所示，坐标系与坐标系具有相同的方位，但两者的原点不重合。坐标系相对于坐标系的位置矢量用坐标系原点在坐标系中的位置矢量表示。假设点在坐标系中的位置矢量为，在坐标系中的位置矢量为，则两者之间具有如下关系（2-1-8）称式（2-1-8）为坐标平移方程。

4、图2.1.2平移变换（2）旋转坐标变换如图2.1.3所示，坐标系与坐标系具有相同的坐标原点，但两者的方位不同。同一点在这两个坐标系的位置矢量、具有如下变换关系（2-1-9）称式（2-1-9）为坐标旋转方程。图2.1.3旋转变换同理、具有如下变换关系（2-1-10）由于旋转矩阵和均为正交矩阵，由式（2-1-9）和式（2-1-10）可知两者互逆，即（2-1-11）（3）平移加旋转变换一般情况下，坐标系与坐标系的原点既不重合，方位也不相同，如图2.1.4所示。坐标系相对于坐标系的位置矢量用表示，坐标系相对于坐标系的方位用表示，这时点在这两个坐标系的位置矢量、具有如下变换关系（2-1-1

5、2）图2.1.4平移加旋转变换注：坐标系{C}为过渡坐标系2.齐次变换一般情况下，刚体的运动是转动和平移的复合运动，为了用同一矩阵既表示转动又表示平移，因此引入齐次坐标变换矩阵。（1）齐次坐标假设一点在直角坐标系中的坐标为它的齐次坐标可表示为（2-1-13）（2-1-14）需要注意的是，三维空间中同一点的齐次坐标表示方法不是唯一的。将其各元素同乘以非零因子后，仍然代表同一点，即（2-1-15）式中，，，。并且规定：列向量（其中）中第4个元素时，表示空间的无穷远点，第4个元素的点为非无穷远点。因此齐次坐标表示坐标原点，、和分别表示轴、轴和轴。而没有意义。（2）齐次变换①平移的齐次变

6、换如图2.1.5所示，矢量沿矢量得到矢量，故矢量可看成是矢量和矢量之和。故有（2-1-16）其中称为平移的齐次变换矩阵，又可表示为。矩阵中的第四列为平移参考矢量的齐次坐标。图2.1.5平移的齐次变换例2.1向量沿向量平移，求平移后得到的向量。解：也可用矢量相加的方法求解由此可见，用两者方法计算得到的结果相同。②旋转的齐次变换根据直角坐标的旋转变换，可以得到分别绕、、轴旋转一个角度的齐次旋转变换矩阵为（2-1-17）（2-1-19）（2-1-18）由式（2-1-17）～（2-1-19）可知，旋转齐次变换矩阵中左上角的子矩阵即为相应的旋转变换矩阵。例2.2向量绕轴旋转得到向量，试求出

7、。解：③平移加旋转的齐次变换向量首先绕轴旋转，然后再绕轴旋转，最后再沿向量平移，得到向量（2-1-20）其中矩阵为平移加旋转的复合齐次变换。该矩阵左上角子矩阵表示旋转变换，第4列表示平移变换。三、欧拉角和角1．欧拉角（角）机器人在运动的过程中，机械手的运动姿态往往由一个绕轴，和的旋转序列来规定。这种转角的序列称为欧拉（Euler）角，如图2.1.10所示。欧拉角序列规定如下：首先绕轴旋转角，然后绕新的轴（）旋转角，最后绕新的轴（）旋转角。欧拉角可以用来描述任何可能的姿态。欧拉角也