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1、初中数学教师笔试试题1已知:关于x的一元一次方程kx=x+2①的根为正实数，二次函数y=ax2-bx+kc（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1.（1）若方程①的根为正整数，求整数k的值；（2）求代数式的值；（3）求证:关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0②必有两个不相等的实数根.2.抛物线与x轴交于A（－1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，－3），抛物线顶点为M，连接AC并延长AC交抛物线对称轴于点Q，且点Q到x轴的距离为6.（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，求出点D的坐标；（3）抛物线对称轴上是否存在一点P，使得S△PAM=3S△AC
2、M，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.3．在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,,BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系．图1图2图3（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时；（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=，则Q=（用、L表示）．参考答案1．（1）解：由kx=x+2，得(k
3、-1)x=2.依题意k-1≠0.∴.……………………………………………………………1分∵方程的根为正整数，k为整数,∴k-1=1或k-1=2.∴k1=2,k2=3.……………………………………………………………2分（2）解：依题意，二次函数y=ax2-bx+kc的图象经过点（1，0），∴0=a-b+kc,kc=b-a.∴=…………………………3分（3）证明：方程②的判别式为Δ=(-b)2-4ac=b2-4ac.由a≠0,c≠0,得ac≠0.(i)若ac<0,则-4ac>0.故Δ=b2-4ac>0.此时方程②有两个不相等的实数根.………………………………………………………………4分(ii
4、)证法一:若ac>0,由(2)知a-b+kc=0,故b=a+kc.Δ=b2-4ac=(a+kc)2-4ac=a2+2kac+(kc)2-4ac=a2-2kac+(kc)2+4kac-4ac=(a-kc)2+4ac(k-1).…………………………………………………5分∵方程kx=x+2的根为正实数，∴方程(k-1)x=2的根为正实数.由x>0,2>0,得k-1>0.…………………………………………………6分∴4ac(k-1)>0.∵(a-kc)2³0,∴Δ=(a-kc)2+4ac(k-1)>0.此时方程②有两个不相等的实数根.…………7分证法二:若ac>0,∵抛物线y=ax2-bx+kc
5、与x轴有交点,∴Δ1=(-b)2-4akc=b2-4akc³0.(b2-4ac)-(b2-4akc)=4ac(k-1).由证法一知k-1>0,∴b2-4ac>b2-4akc³0.∴Δ=b2-4ac>0.此时方程②有两个不相等的实数根.…………………7分综上,方程②有两个不相等的实数根.考察的知识点：1.整体代入；2.判别式.3.分类讨论2.解：（1）设直线AC的解析式为，把A（－1，0）代入得.∴直线AC的解析式为.………………………………………………1分依题意知，点Q的纵坐标是－6.把代入中，解得，∴点Q（1，）.………………2分∵点Q在抛物线的对称轴上，∴抛物线的对称轴为直线.设抛
6、物线的解析式为，由题意，得，解得∴抛物线的解析式为.………………………………………………3分（2）如图①，过点C作AC的垂线交抛物线于点D，交x轴于点N，则∴，∴.∵，，∴.∴点N的坐标为（9，0）可求得直线CN的解析式为.图①由，解得，即点D的坐标为（，）.………5分（3）设抛物线的对称轴交x轴于点E，依题意，得，，.∵，且，又，∴.设P（1，m），图②①当点P在点M上方时，PM＝m＋4＝3，∴，∴P（1，－1）.…………………………………………………………6分②当点P在点M下方时，PM＝－4－m＝3，∴，∴P（1，－7）.…………………………………………………………7分综上所述，点
7、P的坐标为（1，－1），（1，－7）考察的知识点：1.点在直线上则它满足函数关系；2.等量代换；3.正切；4.面积；5.分情况讨论.3.解：（I）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN．此时．（II）猜想：结论仍然成立．证明：如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE．,且．．又是等边三角形，．在与中：(SAS)．DM=DE,在与中：(SAS)MN=NE=NC+BM的周长Q=AM+AN+MN=AM+AN+(NC+BM)
