全等三角形辅助线系列之一---角平分线类辅助线作法大全.doc

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1、Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse全等三角形辅助线系列之一与角平分线有关的辅助线作法大全一、角平分线类辅助线作法角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等．对于有角平分线的辅助线的作法，一般有以下四种．1、角分线上点向角两边作垂线构全等：过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题；2、截取构全等利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形；3、延长垂线段题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一

2、边相交，构成等腰三角形；4、做平行线：以角分线上一点做角的另一边的平行线，构造等腰三角形有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形．或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形．通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形．至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件．典型例题精讲【例1】如图所示，BN平分∠ABC，P为BN上的一点，并且PD⊥BC于D，．求证：．【解析】过点P作PE⊥AB于点E．∵PE⊥AB，PD⊥BC，BN平分∠ABC，∴．在Rt△

3、PBE和Rt△PBC中，，∴Rt△PBE≌Rt△PBC（HL），∴．∵，，，∴．∵PE⊥AB，PD⊥BC，∴．在△PAE和Rt△PCD中，∵，∴△PAE≌Rt△PCD，∴．∵，∴．【答案】见解析．【例1】如图，已知：，AD∥BC，P是AB的中点，PD平分∠ADC，求证：CP平分∠DCB．【解析】因为已知PD平分∠ADC，所以我们过P点作PE⊥CD，垂足为E，则，由P是AB的中点，得，即CP平分∠DCB．【答案】作PE⊥CD，垂足为E，∴，∵PD平分∠ADC，∴，又∵，∴，∴点P在∠DCB的平分线上，∴CP平分∠DCB．【例2】已知：，OM是∠AOB的平分

4、线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D．（1）PC和PD有怎样的数量关系是__________．（2）请你证明（1）得出的结论．【解析】（1）．（2）过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，∴，∵OM是∠AOB的平分线，∴，∵，且，∴，∴，∴，在△CFP和△DEP中，∴△CFP≌△DEP，∴．【答案】见解析．【例1】如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，，AD、CE分别是∠BA

5、C、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请你判断并写出FE与FD之间的数量关系（不需证明）；（2）如图③，在△ABC中，，请问，在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【解析】如图①所示；（1）．（2）如图，过点F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴，在四边形BGFH中，，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，，∴．在△AFC中，，∴，∴，在△EFG和△DFH中，，∴△EFG≌△DFH，∴【答案】见解析．【例1】已知，AC平分∠MAN，点B、D分别

6、在AN、AM上． （1）如图1，若，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之； （2）如图2，若，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．【解析】（1）得到后再可以证得，从而，证得结论；（2）过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F，证得△CED≌△CFB后即可得到，从而证得结论．【答案】（1）关系是：．证明：∵AC平分∠MAN， ∴ 又， ∴ 则（直角三角形一锐角为30°，则它所对直角边为斜边一半） ∴； （2）仍成立． 证明：过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F ∵AC平分∠MAN ∴（角平分

7、线上点到角两边距离相等） ∵， ∴ 又，∴△CED≌△CFB（AAS） ∵，∴ 由（1）知， ∴．【例1】如图，在△ABC中，，AD平分∠BAC，求证：．【解析】在AB上截取点E，使得．∵AD平分∠BAC，∴，∴△ADE≌△ADC（SAS）．∴，．∵，∴．∵，∴，∴．∴．【答案】见解析．【例1】如图，△中，，，平分交于点．求证：．【解析】在上截取点使，连结．∵平分，∴．在与中∵，，∴，∴∵，∴，∴．又∵，∴∴，∴∵，∴【答案】见解析．【例1】已知中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明．【解析】在上截取一点使得，易证，在根据推出，再

8、证明即可．【答案】．【例2】如图：已知AD为△ABC的中线，且，，求证：．【解析