三角形的四心问题 .doc

三角形的四心问题 .doc

ID:58697073

大小:667.50 KB

页数:9页

时间:2020-10-05

三角形的四心问题 .doc_第1页
三角形的四心问题 .doc_第2页
三角形的四心问题 .doc_第3页
三角形的四心问题 .doc_第4页
三角形的四心问题 .doc_第5页
资源描述:

《三角形的四心问题 .doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库

1、向量与三角形内心、外心、重心、垂心一、重心与向量的结合(1)重心——中线的交点:重心将中线长度分成2:1;①顶点与重心的连线必平分对边。②重心定理:三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的倍。即③重心的坐标是三顶点坐标的平均值.即.④向量性质:(1);(2),⑤。重心与向量的结合例1:是的重心.证明:如图三点共线,且分为2:1,是的重心.例2:P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心.证明:∵G是△ABC的重心∴=0=0,即由此可得.(反之亦然)(3)上题变形,如图所示,的重心为为坐标原点,,,,试用表示.解:设交

2、于点,则是的中点,而点评:重心问题是三角形的一个重要知识点,充分利用平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质(重心是三角形中线的内分点)及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键.二、垂心与向量的结合垂心——高线的交点:高线与对应边垂直;性质:1.顶点与垂心连线必垂直对边,即。2.△的垂心为,△的垂心为,△的垂心为。例3:为的垂心.证明:如图所示O是三角形ABC的垂心,BE垂直AC,AD垂直BC,D、E是垂足.同理,为的垂心点评:本题将平面向量有关运算、“数量积为零,则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识巧妙结合。

3、变式:若H为△ABC所在平面内一点,且则点H是△ABC的垂心BCHA证明:即即同理,,故H是△ABC的垂心例4:是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,,则点的轨迹一定通过的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解:如图所示AD垂直BC,BE垂直AC,D、E是垂足.===+=0∴点的轨迹一定通过的垂心,即选.练习1:的外接圆的圆心为O,若,则是的()A.外心B.内心C.重心D.垂心提示:D.取BC中点D,连接OD,可得,,可得,,同理……练习2:若O、H分别是△ABC的外心和垂心.求证:.证明:若△ABC的垂心为H,外心

4、为O,如图.连BO并延长交外接圆于D,连结AD,CD.∴,.又垂心为H,,,∴AH∥CD,CH∥AD,∴四边形AHCD为平行四边形,∴,故.三、内心与向量的结合三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,即内切圆圆心。的内心一般用字母表示,它具有如下性质:1.内心到三角形三边等距,且顶点与内心的连线平分顶角。2.三角形的面积=三角形的周长内切圆的半径.3.;三角形的周长的一半。4.,例5.O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足,则P点的轨迹一定通过的()(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心解:因为是向

5、量的单位向量,设与方向上的单位向量分别为,又,则原式可化为,由菱形的基本性质知AP平分,那么在中,AP平分,则知选B.引申:引进单位向量,使条件变得更简洁.如果记的单位向量为,则刚才O是内心的充要条件可以写成:练习1:设,,是三角形的三条边长,O是ABC的内心为的内心.证明:分别为方向上的单位向量,平分,),令∴(),化简得∴练习2:已知非零向量与满足(+)·=0且·=,则△ABC为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形解:非零向量与满足()·=0,即角A的平分线垂直于BC,∴AB=AC,又

6、=,∠A=,所以△ABC为等边三角形,选D.四、外心与向量的结合外心——中垂线的交点(外接圆的圆心):外心到三角形各顶点的距离相等。定义:三角形三条中垂线的交点叫外心,即外接圆圆心。的重心一般用字母表示。性质:1.外心到三顶点等距,即。2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边,即.3.。例6:的外接圆的圆心为O,提示:练习:在三角形ABC中,动点P满足:,则P点轨迹一定通过△ABC的:(A)A外心B内心C重心D垂心五、四心综合题练习1:已知A、B、C是平面上不共线的三点,O是三角形ABC的重心,动点P满足=(++2),

7、则点P一定为三角形ABC的(B)A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB边的中点答案:B取AB边的中点M,则,由=(++2)可得3,∴,即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点,且点P不过重心,故选B.练习2:已知向量,,满足条件++=0,

8、

9、=

10、

11、=

12、

13、=1,求证:△P1P2P3是正三角形.证明:由已知+=-,两边平方得·=,同理·=·=,∴

14、

15、=

16、

17、=

18、

19、=,从而△P1P2P3是正三角形.反之,若点O是正三角形△P1P2P3的中心,则显然有++=0且

20、

21、=

22、

23、=

24、

25、.即O是△ABC所在平面

26、内一点,++=0且

27、

28、=

29、

30、=

31、

32、点O是正△P1P2P3的中心.练习3:如图,已知点G是的重心,过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且,,则。证:点G是的重心,知,得,有。又M,N,G三点共线(A不在直线MN上),于是存在,使得,有=,得,于是得。(

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文

此文档下载收益归作者所有

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文
温馨提示:
1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
2. 本文档由用户上传,版权归属用户,天天文库负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服处理。