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1、图形变换（Ⅱ）第七章三维变换及三维观察万斌机械设计制造及其自动化教研室提出问题如何对三维图形进行方向、尺寸和形状方面的变换如何进行投影变换如何方便地实现在显示设备上对三维图形进行观察主要内容7.1三维变换的基本概念7.2三维几何变换7.3平行投影7.4透视投影7.5观察坐标系和观察空间7.6三维观察流程7.7三维裁剪7.1三维变换的基本概念7.1.1三维齐次坐标变换矩阵7.1.2几何变换图形的几何变换是指对图形的几何信息经过平移、比例、旋转等变换后产生新的图形。点的矩阵变换线框图的变换用参数方程描述的图形的变换7.1.
2、3平面几何投影投影变换就是把三维立体（或物体）投射到投影面上得到二维平面图形。平面几何投影主要指平行投影、透视投影以及通过这些投影变换而得到的三维立体的常用平面图形：三视图、轴测图。观察投影是指在观察空间下进行的图形投影变换。投影中心、投影面、投影线：平面几何投影可分为两大类：透视投影的投影中心到投影面之间的距离是有限的平行投影的投影中心到投影面之间的距离是无限的7.1.4观察投影7.2三维几何变换7.2.1三维基本几何变换三维基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴进行的几何变换假设三维形体变换前一点为p(x,y,z)
3、，变换后为p'(x',y',z')。1.平移变换2.比例变换(1)局部比例变换(以坐标原点为参考点)：若a=e=i则各向缩放比例相同；若a,e,i不相等，则各向缩放比例不同，立体产生变形。例子：对如图7-6所示的长方形体进行比例变换，其中a=1/2，e=1/3，j=1/2，求变换后的长方形体各点坐标。(2)整体比例变换（以坐标原点为参考点）3.旋转变换(1)绕z轴旋转XYZ(x,y)(x’y’)OθXYαOx’=ρcos(α+θ)=x*cosθ-y*sinθy’=ρsin(α+θ)=x*sinθ+y*cosθz’=z2
4、.绕x轴旋转空间上的立体绕X轴旋转时，立体上各点的X坐标不变，只是Y、Z坐标发生相应的变化。x’=xy’=ρcos(α+θ)=y*cosθ-z*sinθz’=ρsin(α+θ)=y*sinθ+z*cosθXYZ(x,y)(x’y’)OαθYO(x’y’)(x,y)Z3.绕y轴旋转此时，Y坐标不变，X，Z坐标相应变化。x’=ρsin(α+θ)=x*cosθ+z*sinθy’=yz’=ρcos(α+θ)=z*cosθ-x*sinθθXαOZXZ(x,y)(x’y’)4.对称变换(1)关于坐标平面对称关于xoy平面进行对称变
5、换的矩阵计算形式为：关于yoz平面的对称变换为：关于zox平面的对称变换为:(2)关于坐标轴对称变换关于x轴进行对称变换的矩阵计算形式为：关于y轴的对称变换为：关于z轴的对称变换为：5.错切变换(1)沿x方向错切(2)沿y方向错切(3)沿z方向错切6.逆变换所谓逆变换即是与上述变换过程的相反的变换(1)平移的逆变换(2)比例的逆变换局部比例变换的逆变换矩阵为：整体比例变换的逆变换矩阵为：(3)旋转的逆变换7.2.2三维复合变换三维复合变换是指图形作一次以上的变换，变换结果是每次变换矩阵相乘。1.相对任一参考点的三维变换
6、相对于参考点F(xf,yf,zf)作比例、旋转、错切等变换的过程分为以下三步：(1)将参考点F移至坐标原点(2)针对原点进行二维几何变换(3)进行反平移例：相对于F(xf,yf,zf)点进行比例变换2.绕任意轴的三维旋转变换问题：如何求出为TRAB。问题描述：设三维空间中有一条任意直线l，它由直线上一点Q和沿直线方向的单位方向向量n(n1,n2,n3)确定，Q点坐标为(x0,y0,z0)，以这条直线为旋转轴做旋转θº的旋转变换，使三维空间中任意一点P变成P'。实现步骤：1.做平移交换T(－XA，－YA，－ZA)，将坐标
7、原点平移到A点；2.做绕通过坐标原点的旋转轴AB旋转θ角的旋转变换；3.做反平移变换T(XA，YA，ZA)问题的关键在于第二步，能否转换成绕X、Y或Z轴旋转的变换？l绕X轴旋转α到XOZ平面上，然后再绕Y轴旋转β，即可与Z轴重合。lXYZαβn3n1n2这个以过坐标原点的任意直线为旋转轴的旋转变换可分为五步实现：1)做绕x轴旋转α角的变换Rx(α)，使旋转轴落在y＝0平面上。2)做绕y轴旋转β角的变换Ry(β)，使旋转轴与z轴重合：3)做绕z轴旋转θ角的旋转变换。4)做第二步的逆变换，即做旋转变换Ry(－β)5)做第一
8、步的逆变换，即做旋转变换Rx(－α)由上推导可看出，只要能求出α、β的值，即可通过上式获得绕AB轴的变换矩阵。看第一步：看第二步：看第三步：绕z轴旋转角，变换矩阵是：第四步：第五步：至此，实现以过坐标原点任意直线为旋转轴的旋转变换的变换矩阵R(θ)为：实现绕空间任意直线为旋转轴的旋转变换的变换矩阵为思考题已知三维空间中通过原点和（
