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1、第6章解线性方程组的迭代法1迭代法的基本思想从某一个给定的初始值出发，按照一个适当的计算法则逐次计算生成序列，当序列收敛于，即极限,则是方程组AX=b的解。对于线性方程组AX=b,迭代法的基本思想是：2迭代格式将方程组AX=b(
2、A
3、0)转化为与其等价的方程组X=BX+f。X(k+1)=BX(k)+f（k=0,1,2,)取初始向量X(0)，依此类推一阶定常迭代。3迭代法需要解决的问题选择一个初始近似向量；构造一种计算法则（迭代格式），由计算；证明所得向量序列的收敛性；若收敛于，则是原问题的近似解，该近似解的误差如何估计。4初始近似向量的选择实际计
4、算中，通常取为元素全零或全1的向量。初始向量的选取对迭代序列的收敛性没有影响。5迭代格式例：用迭代思想求解线性方程组精确解为：6迭代格式解：根据迭代的思想，建立迭代的计算规则。将AX=b改写为如下形式：X=BX+f7迭代格式取初始向量为，代入迭代格式计算得到：以此类推，反复利用迭代式，10次迭代后得：构造的迭代格式X(k+1)=BX(k)+f，在k不断增大时，计算得到的逼近精确解。89雅克比(Jacobi)迭代法设方程组10雅克比(Jacobi)迭代法其中aii(i)0(i=1,2,…,n)等价方程组11雅克比(Jacobi)迭代法建立迭代格式：1
5、2雅克比(Jacobi)迭代法或简写为：称为雅可比(Jacobi)迭代法，也称作简单迭代法。13雅克比(Jacobi)迭代法例1用雅可比迭代法解方程组14雅克比(Jacobi)迭代法解：雅可比迭代格式为15雅克比(Jacobi)迭代法kx1(k)x2(k)x3(k)10.720.830.8420.9711.071.15…………111.0999931.1999931.299991121.0999981.1999981.299997取,计算如下:16高斯－塞德尔(Gauss-Seidel)迭代由Jacobi迭代可以看出，每次计算新值时，用的都是，即的旧值
6、，但事实上，在计算时，已经计算得到了，所以可以将原来的迭代进行改善。17高斯－塞德尔(Gauss-Seidel)迭代18高斯－塞德尔(Gauss-Seidel)迭代或简写为：称为高斯—塞德尔（Gauss—Seidel）迭代法。19高斯－塞德尔(Gauss-Seidel)迭代例2用Gauss—Seidel迭代法解上题。20高斯－塞德尔(Gauss-Seidel)迭代解：Gauss-Seidel迭代的迭代格式为：21高斯－塞德尔(Gauss-Seidel)迭代取x(0)=(0,0,0)T计算如下：kx1(k)x2(k)x3(k)10.720.9021.1
7、644…………81.0999981.1999991.3Jacobi法需要12次迭代。。。2223Jacobi迭代法的矩阵描述如果将矩阵A改写成形式：A=D-L-UA=-L-UD24Jacobi迭代法的矩阵描述当选分裂矩阵为D时，对应得到的即为Jacobi迭代法。A=D-(L+U);雅可比迭代法可写为矩阵形式25Jacobi迭代法的矩阵描述其迭代矩阵为26G-S迭代法的矩阵描述Gauss-Seidel迭代法。G-S迭代法可写为矩阵形式：27迭代法的矩阵描述例：用矩阵形式的Jacobi迭代和G-S迭代形式求解线性方程组：28迭代法的矩阵描述Jacobi迭
8、代：29迭代法的矩阵描述取x(0)=(0,0)T经过三步迭代后得到下面的结果：k00011/2-5/429/8-9/8317/16-31/3230迭代法的矩阵描述G-S迭代：或：31迭代法的矩阵描述或：32迭代法的矩阵描述取x(0)=(0,0)T经过两步迭代后得到下面的结果：k00011/2-9/8217/16-63/6433解线性方程组的迭代法迭代法的收敛性34一阶定常迭代法的收敛性设解线性方程组的迭代格式将两式相减,得：35一阶定常迭代法的收敛性则:因此迭代法收敛的充要条件可转变为36一阶定常迭代法的收敛性定理：迭代格式收敛的充要条件为：即:B的
9、谱半径根据矩阵与其Jordan标准形及特征值的关系37一阶定常迭代法的收敛性定理：设B为n阶实矩阵，则的充要条件是定理：迭代格式收敛的充要条件为：38一阶定常迭代法的收敛性例：判别下列方程组用Jacobi迭代法和G-S法求解是否收敛。39一阶定常迭代法的收敛性解:(1)求Jacobi法的迭代矩阵40一阶定常迭代法的收敛性所以即Jaobi迭代法收敛。41一阶定常迭代法的收敛性(2)求Gauss-Seidel法的迭代矩阵所以Gauss-Seidel迭代法发散。42特殊方程组迭代法的收敛性定义：如果矩阵A的元素满足则称A为严格对角占优矩阵。问题：该矩阵具有
10、怎样的特点？结论：该矩阵是严格对角占优阵43特殊方程组迭代法的收敛性定理：若线性方程组AX=b的系数矩阵A为
