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1、第6章常微分方程数值解法§1引言§2欧拉法和改进的欧拉法§3龙格-库塔法§4阿当姆斯方法§1引言在高等数学里我们已经接触过常微分方程，对于一些典型的常微分方程，有求解析解的基本方法，但多数情况下，遇到的问题比较复杂，此时，只能利用近似方法求解，一般有两种近似方法。近似解析方法数值方法实际求解的常微分方程，大多是定解问题┉┉满足指定条件的特解初值问题边值问题本章讨论常微分方程，数值解的最简单问题┉┉一阶方程初值问题，即函数f(x)满足下列微分方程和初值条件：在几何问题是(6-1)表现为一簇曲线，称(6-1)的积分曲线，初值问题(6-1)(6-2)就是要求一条过
2、(x0,y0)的积分曲线(6―1)(6－2)方程的精确解y(x)称为积分曲线。方程是否有解，解是否唯一？定理1对初值问题(6-1)(6-2)，若f(x,y)在区域G={a≤x≤b,
3、y
4、＜∞}内连续，且关于y满足李普希兹条件，即存在常数L，使
5、f(x,y1)-f(x,y2)
6、≤L
7、y1-y2
8、（6-3）对G中任意两个y1,y2均成立，其中L是与x,y无关的常数，则初值问题(6-1)(6-2)在(a,b)内存在唯一解，且解是连续可微的。设f(x，y)在带形区域R：｛a≤x≤b，-∞＜y＜+∞｝上为x，y的连续函数，且对任意的y满足李普希茨(Libusize)条
9、件｜f(x，y1)-f(x，y2)｜≤L｜y1-y2｜其中(x，y1)、(x，y2)∈R，L为正常数。在求初值问题(6-1)(6-2)的数值解时，我们通常采用离散化方法，求在自变量x的离散点a=x0＜x1＜x2＜…＜xn=b上的准确解y(x)的近似值y0，y1，y2，…，yn常取离散点x0，x1，x2，…，xn为等距，即xi+1-xi=h，i=0，1，2，…，n-1h称为步长。图6.1表示为初值问题(6―1)(6―2)在n+1个离散点上的准确解y(x)的近似值。图6.1数值解法的重点不在于求准确解（即解析解），而是直接求一系列点上的近似解。求解过程顺着节点排
10、列的顺序一步步向前推进，也即按递推公式由y0，y1…..yi推yi+1，下面各种方法的实质是建立递推公式。初值问题（6.1）(6.2)的数值解法的基本特点是：§2欧拉法和改进的欧拉法一、欧拉方法1.基本思想区间[a，b]上给定n+1个点x0，x1，x2，……xn再用yi近似地代替y(xi)，则初值问题(6-1)(6-2)就化为从x0出发根据初值问题，y(x0)=y0再利用上式得y(x1)≈y1=y(0)+hf(x0，y0)，再以y1作为y(x1)的近似值，代入上式求y2…..yny(x2)≈y2=y1+hf(x1,y1)………..y(xi+1)≈yi+1=y
11、i+hf(xi,yi)i=0,1,……(6.4)称为解初值问题的欧拉方法2．几何意义欧拉公式有很明显的几何意义。我们知道初值问题(6.1)中的微分方程的解是xoy平面上的一簇积分曲线这簇积分曲线上任意点(x，y)的斜率为f(x，y)，而初值问题(6.1)(6.2)的解是过点(x0，y0)的一条特定的积分曲线。Ox0x1x2xn(x0,y0)(x1,y1)(x2,y2)(xn,yn)y(x)过点P0(x0,y0)，从P0出发以f(x0,y0)为斜率做一直线与直线x=x1交于点p1(x1,y1),显然有:y1=y0+hf(x0,y0),再从p1出发,以f(x1,
12、y1)为斜率做一直线推进到x=x2上一点p2(x2,y2),依此类推,这样得到解曲线的一条近似曲线,它就是折线p0p1p2……所以欧拉方法又叫欧拉折线法欧拉法是用yi通过yi+1=yi+hf(xi,yi)i=0,1,……求yi+1,这样利用y0┅>y1┅>y2┅……计算yi+1用前一步的yi┅┅单步法计算yi+1用前几步的｛yi-n｝┉┉多步法例1：用欧拉法求解方程0≤x≤1.2h=0.2解:欧拉法的具体形式为:yi+1=yi+hf(xi,yi)=(1-0.4xi)yi所以:y1=y0+hf(x0,y0)y2=y1+hf(x1,y1)=(1-0.4x1)y1
13、=0.920000……=(1-0.4x0)y0=1xiyiy(xi)0110.210.9607890.40.9200000.8521440.60.7728000.6976760.80.5873220.5277921.00.3993830.3678791.20.2396300.236938可见欧拉法的精度是很差的所求值用下表列出,并与精确值对比二、欧拉方法的误差分析定义1(p146)对于初值问题，当假设yi是准确的时，用某种方法求yi+1时所产生的截断误差称为该方法的局部截断误差。我们来看在第i+1步使用欧拉方法所得yi+1的局部截断误差y(xi+1)-yi+
14、1假定yi是准确的,即yi=y(xi)由y(xi+1
