求值域经典例题.doc

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1、..　　四、经典例题　　例1、求下列函数的值域：　　（1）　　（2）　　（3）　　（4）　　（5）　　（6）　　分析：对于形如（1）（2）（3）的函数求值域，基本策略是（ⅰ）化归为的值域；（ⅱ）转化为sinx（或cosx）的二次函数；对于（4）（5）（6）之类含有绝对值的函数求值域，基本策略则是（ⅰ）在适当的条件下考察y2；（ⅱ）转化为分段函数来处理；（ⅲ）运用其周期性、奇偶性或函数图象对称性转化.　　解：　　（1）　　　　　　　　∵　　∴，　　即所求函数的值域为.　　（2）由.zyzl....　　∴　　∴　　注意到这里x∈R，，　　∴　　　　　　∴所求函数的值域为[－1，1].　

2、　（3）这里　　令sinx＋cosx＝t　　则有　　且由　　于是有　　　　∵　　∴　　因此，所求函数的值域为.　　（4）注意到这里y>0，且　　∵.zyzl....　　∴　　即所求函数的值域为.　　（5）注意到所给函数为偶函数，　　又当　　∴此时　　同理，当亦有.　　∴所求函数的值域为.　　（6）令　　则易见f（x）为偶函数，且　　∴是f（x）的一个正周期.　　　　　　　　　　　　　　　　①　　只需求出f（x）在一个周期上的取值范围.　　当x∈[0，]时，　　又注意到，　　∴x＝为f（x）图象的一条对称轴　　　　　　　　　　　　　　②　　∴只需求出f（x）在[0，]上的最大值.　　

3、而在[0，]上，递增.　　　　③　　亦递增　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　④　　∴由③④得f（x）在[0，.zyzl....]上单调递增.　　∴　　即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⑤　　于是由①、②、⑤得所求函数的值域为.　　点评：解（1）（2）运用的是基本化归方法；解（3）运用的是求解关于sinx＋cosx与sinxcosx的函数值域的特定方法；解（4）借助平方转化；解（5）（6）则是利用函数性质化繁为简，化暗为明.这一点在解（6）时表现得淋漓尽致.　　例2、求下列函数的周期：　　（1）；　　（2）；　　（3）；　　（4）；　　（5）　　分析：与求值域的

4、情形相似，求三角函数的周期，首选是将所给函数化为＋k的形式，而后运用已知公式.对于含有绝对值的三角函数，在不能利用已有认知的情况下，设法转化为分段函数来处理.　　解：　　（1）　　＝　　＝　　∴所求最小正周期.　　（2）.zyzl....　　＝　　＝　　＝　　∴所求周期.　　（3）　　＝　　＝　　＝.　　注意到的最小正周期为，故所求函数的周期为.　　（4）　　注意到3sinx及-sinx的周期为2，又sinx≥0（或sinx<0）的解区间重复出现的最小正周期为2.　　∴所求函数的周期为2.　　（5）　　　　注意到sin2x的最小正周期，又sinx≥0（或sinx<0）的解区间重复出

5、现的最小正周期，这里.zyzl....的最小公倍数为.　　∴所求函数的周期.　　点评：对于（5），令　　则由知，是f（x）的一个正周期.　　　　　　①　　又　　∴不是f（x）的最小正周期.　　　　　　　　　　　　　　　　　　②　　于是由①②知，f（x）的最小正周期为.　　在一般情况下，探求上述一类分段函数的周期，仅考虑各段函数的最小正周期的最小公倍数是不够的，还要考虑各分支中的条件区间重复出现的最小正周期.双方结合，方可能获得正确结果.　　请大家研究的最小正周期，并总结自己的有关感悟与经验..zyzl..