自然数1至n幂求和公式递进推导法.docx

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1、自然数的1至n幂的求和公式的递进推导法(连载一)《自然数平方和公式推导及其应用》（）发表以来,得到了数学爱好者的好评。其实，那是自然数平方和公式推导，推广到偶数、奇数自然数平方和以及自然数立方和公式与偶数、奇数自然数立方和求法的一种偶然思路。如何由二项式定理推导自然数的n次幂的求和公式才是该数学问题的完美思路，其研究的结果在现实中具备广泛的现实利用价值和数学理论意义，比如它完全可以代表等差数列N项的高次幂求和的思路与方法。1.自然数的1至n次幂的求和的递进推导关系1.1自然数的1次幂的求和 即s=1+2+3+...+n实际上是一个等差为1的等差数列求和,公

2、式为s=n(n+1)/21.2自然数的2次与二次以上幂的求和 s=1n+2n+3n+...+Nn(n≥2)不是一个等差数列，也不是一个等比数列，但通过二项式定理的展开式，可以转化为按等差数列，由低次幂到高次幂递进求和。怎样转化为等差数列、怎样由低次幂递进到高次幂这才是研究思路的重点。     当n为奇数时，由1n+2n+3n+...+Nn与s=Nn+(N-1)n+(N-2)n+...+1n相加得:  2s=Nn+[1n+(N-1)n]+[2n+(N-2)n]+[3n+(N-3)n]+...+[(N-1)n+(N-N-1)n]+Nn    =Nn+Nn+Nn

3、+...+Nn加或减去所有添加的二项式展开式数  =(1+N)Nn减去所有添加的二项式展开式数。当n为偶数时，由1n+2n+3n+...+Nn与s=Nn+(N-1)n+(N-2)n+...+1n相加得:  2s=Nn+[1n+(N-1)n]+[2n+(N-2)n]+[3n+(N-3)n]+...+[(N-1)n+(N-N-1)n]+Nn    =2Nn+2[(N-2)n+(N-4)n+(N-6)n+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数  又当n为偶数时，由1n+2n+3n+...+Nn与s=Nn+(N-1)n+(N-2)n+...+1n相加得: 

4、 2s=[Nn+1n]+[(N-1)n+2n]+[(N-2)n+3n]+...+[(N-N-1)n+(N-1)n]    =2[(N-1)n+(N-3)n+(N-5)n+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数,合并n为偶数时2S的两个计算结果，可以得到s=Nn+(N-1)n+(N-2)n+...+1的计算公式。   其中，所有添加的二项式展开式数，按下列二项式展开式确定，如此可以顺利进行自然数的1至n幂的求和公式的递进推导。1.2.1自然数的2次幂的求和 自然数的2次幂的求和是自然数的二次以上幂的求和公式推导的基础，它是自然数偶数次幂的开始和代表。

5、  命s=12+22+32+…+N2,则有2s=(N2+12)+[(N-1)2+22]+(N-2)2+32]+…+{[N-(N-1)]2+N2}=(N-1)2+2N+(N-3)2+2×2(N-1)+(N-5)2+2×3(N-2)+…+(N-1)2+2N[N-(N-1)]=2[(N-1)2+(N-3)2+(N-5)2+…+1或0](其中N为偶数时取1,N为奇数时取0)+2N+2×2(N-1)+2×3(N-2)+…+2N[N-(N-1)]=2[(N-1)2+(N-3)2+(N-5)2+…+1或0]+2N(1+2+3+…+N)-2[2×1+3×2+…+N(N-1

6、)]=2[(N-1)2+(N-3)2+(N-5)2+…+1或0]+N2(1+N)-2[1-1+2×(2-1)+3×(3-1)+…+N(N-1)]=2[(N-1)2+(N-3)2+(N-5)2+…+1或0]+N2(1+N)-2(1+22+32+…+N2-1-2-3-…-N)即4s=2[(N-1)2+(N-3)2+(N-5)2+…+1或0]+N2(1+N)+N(1+N)……………………………….(1)同理：2s=N2+[12+(N-1)2]+[22+(N-2)2]+[32+(N-3)2]…+{(N-1)2+[N-(N-1)]2}+N2=2N2+(N-2)2+2

7、(N-1)+(N-4)2+2×2(N-2)+(N-6)2+2×3(N-3)+…+(N-2)2+2(N-1)[N-(N-1)]=2[(N-2)2+(N-4)2+(N-6)2+…+1或0](其中N为偶数时取0,N为奇数时取1)+2(N-1)+2×2(N-2)+2×3(N-3)+…+2(N-1)[N-(N-1)]+2N2=2[(N-2)2+(N-4)2+(N-6)2+…+1或0]+2N2+2N(1+2+3+…+N-1)-2[12+22+32+…+(N-1)2+N2-N2]=2[(N-2)2+(N-4)2+(N-6)2+…+1或0]+4N2+N2(N-1)-2[1

8、2+22+32+…+(N-1)2+N2]4s=2[(N-2)2+(