第4章线性系统的根轨迹法ppt课件.ppt

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1、根轨迹方法的研究背景系统的稳定性和动态性能与闭环传递函数的零极点有着密切关系高阶系统的闭环零极点难以求出。1948年，WREvans提出根轨迹法:利用开环传递函数分析闭环特征方程根的变化根轨迹法的特点图形分析技术，直观简单，计算量少能够揭示闭环极点随着过程参数变化的情形，以及对系统性能的影响提供了一种分析系统的思路：开环闭环第4章线性系统的根轨迹法4-1根轨迹法的基本概念4-2根轨迹的绘制法则4-3广义根轨迹4-4系统性能的分析4-5小结§4-1根轨迹法的基本概念1.相关概念根：闭环特征方程的解根轨迹：开环

2、系统(传递函数)的某一个参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程根在s平面上的轨迹特征方程根闭环极点（无零极点对消时）系统的性能（稳定性和动态性能）【例1】求二阶系统的根轨迹开环增益K从零变到无穷，可以用解析方法求出闭环极点。R(s)C(s)2.根轨迹对系统性能的影响（1）稳定性考察根轨迹是否进入右半s平面。（2）稳态性能开环传递函数在坐标原点有一个极点，系统为I型系统，根轨迹上的K值就是静态误差系数。。（3）动态性能00.5：共轭复数极点，欠阻尼，阻尼震荡

3、响应可分析超调量和调节时间与K关系控制系统如图所示低阶方程：求根公式，解析法绘制根轨迹高阶方程：？Evans提出根轨迹法(图解法)3.闭环与开环零极点的关系闭环传函开环传函:前向通路增益:前向通道根轨迹增益:反馈通道根轨迹增益开环系统根轨迹增益闭环传函开环传函开环传函与闭环传函之间有什么联系呢？结论：（1）闭环系统的根轨迹增益=开环前向通道系统根轨迹增益。（2）闭环系统的零点：开环前向通道传递函数的零点和反馈通道传递函数的极点所组成的集合。（3）闭环极点：与开环零点、开环极点、根轨迹增益K*均有关。（该联系

4、即为绘制根轨迹的关键）4.根轨迹方程闭环传递函数时求根s，即可在s平面上绘制出根轨迹根轨迹方程相角条件（幅角条件）：（充分必要条件）模值条件（幅值条件）：说明：相角条件是绘制根轨迹的充分必要条件要确定一个测试点是否在根轨迹上，只需要看其否满足相角条件确定根轨迹上某一点的K*值时，才使用模值条件【例2】开环传函如下，判断S1(-1，0)和S2(-2，2j)S3(-1，j)是否在根轨迹上根轨迹增益K*=2K开环极点个数N=2,开环零点个数m=0开环极点为P1=0,p2=-2系统的零极点分布如图所示0-20-2在

5、(-2,0)之间的点s1（-1，0），则s1与零极点的相角和为s1满足相角条件，在根轨迹上注：(-2,0)之间的实轴上的点都在根轨迹上。同理可以推导，(-2,0)之间垂直平分线上的点也在根轨迹上相角条件j另外，取S2(-2,2j)点0-2-1S2与零极点的相角和为不满足相角条件，s2不在根轨迹上相角条件§4-2根轨迹绘制法则法则1：根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。证明：根轨迹起点:根轨迹终点:根轨迹方程如下:所以，根轨迹起于开环极点(n个)根轨迹方程变化为：所以根轨迹终于开环零点(

6、m个)一般情况下n>m另n-m条根轨迹终于无穷远处开环零点数(有限零点＋无限零点)＝开环极点数根轨迹方程如下:法则2：根轨迹的分支数、对称性和连续性分支数＝MAX（n,m）特征方程的系数为实数，特征方程的根为实数或共轭复数，因而对称于实轴特征方程是多项式函数，根是K*的隐函数，因此根轨迹连续法则4：实轴上的根轨迹若实轴的某一个区间是一部分根轨迹，则必有：其右边的开环实数零点数与开环实数极点数之和为奇数。0证明：根轨迹上的点必须满足相角条件法则3：根轨迹渐近线当n>m时，则有(n-m)条根轨迹分支终止于无限零

7、点。这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和交点来确定。与实轴夹角与实轴交点【例3】一个系统开环传递函数为根据前面3个根轨迹法则确定根轨迹基本特性解：1)根轨迹起始于开环极点2)根轨迹有4条，且对称于实轴3）实轴上的根轨迹(-∞,-4][-10]终于开环无穷远零点和有限零点4)有n-m=3条渐近线，其与实轴交点为与实轴交角为例3的根轨迹开环极点用×表示开环零点用○表示有三条渐近线一条根轨迹起于p1,终止于z1其他三条终止于无穷远处法则5：分离点与会和点两条或两条以上的根轨迹分支在s平面上相遇又立即分

8、开的点称为分离点(会合点)。根轨迹出现分离点说明了什么问题？特征方程出现了重根。分离点(会合点)坐标d可由下列方法确定公式法分离角l相分离的根轨迹支数若相邻两极点间有根轨迹，则必有分离点若相邻两零点间有根轨迹，则必有会合点分离点实际上是相同的闭环特征值，即特征方程有重根解（1）开环零点开环极点根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。【例4】绘制图示系统的根轨迹（2）实轴上根轨迹（4）分离点及分离角（3）趋向无穷远