第4章数值积分和数值微分ppt课件.ppt

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1、第4章数值积分与数值微分Newton-Cotes公式微积分学---“人类精神的卓越胜利”微积分就是微分运算和积分运算这两种互逆运算方法的合称，就像加法与减法，乘法与除法是互逆运算一样，但微积分的运算法则要比加减乘除，乘方，开方等运算复杂得多，现在已成为高等数学的核心内容。为什么要数值积分？在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分要求被积函数f(x)☞有解析表达式；☞f(x)的原函数F(x)为初等函数．Whydowedonumericalintegral?问题☎f(x)没有解析表达式，只有数表形式e.g.☎f(x)有表达式，但原函数不是初等函数e.g.　　　　

2、　，它们的原函数都不是初等函数.x12345f(x)44.5688.5更一般地，我们可以在区间[a,b]上选取某些节点4.-----(1.3)数值求积的方法是近似方法，要保证精度，我们自然希望求积公式对尽可能多的函数准确地成立，因此定义代数精度的概念:例1.试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高.解:因此所以该积分公式具有3次代数精确度各节点为梯形公式时，——3/8公式上式称为Simpson求积公式，也称三点公式或抛物线公式记为Simpson公式的余项为Simpson公式具有3次代数精度Simpson公式及其余项Cotes公式及其余项Cotes系数为求积公式为上式

3、称为Cotes求积公式，也称五点公式记为Cotes公式的余项为Cotes公式具有5次代数精度思考使用n次Lagrange插值多项式的Newton-Cotes公式至少具有n次代数精度,并且n为偶数时至少具有n+1次代数精度.考察Cotes系数因此用Newton-Cotes公式计算积分的舍入误差主要由其值可以精确给定记而理论值为4.3复化求积公式直接使用Newton-Cotes公式的余项将会较大公式的舍入误差又很难得到控制为了提高公式的精度,又使算法简单易行,往往使用复化方法然后在每个小区间上使用低阶Newton-Cotes公式最后将每个小区间上的积分的近似值相加复化Sim

4、pson公式：44444=Sn复化求积公式的余项和收敛的阶我们知道,三个求积公式的余项分别为单纯的求积公式复化求积公式的每个小区间则复合梯形公式的余项为由于即有例用复化Simpson公式计算积分的近似值，并估计误差。（取n=5）解：n=5，h=(1-0)/n=0.2，节点列为则复化Simpson公式为截断误差估计：求积公式(1)当求积系数、求积节点都可以自由选取时,其代数精确度最高可以达到多少次?§4.6高斯型积分/*GaussianQuadrature*/构造具有2n+1次代数精度的求积公式将节点x0…xn以及系数A0…An都作为待定系数。令f(x)=1,x,x2,…,

5、x2n+1代入可求解，得到的公式具有2n+1次代数精度。这样的节点称为Gauss点，公式称为Gauss型求积公式。例：求的2点Gauss公式。解：设，应有3次代数精度。+101100)()()(xfAxfAdxxfx代入f(x)=1,x,x2,x3不是线性方程组，不易求解。正交多项式证明：“”对任意次数不大于n的多项式Pm(x)，Pm(x)w(x)的次数不大于2n+1，则代入公式应精确成立：0=0x0…xn为Gauss点,则公式至少有2n+1次代数精度。与任意次数不大于n的多项式P(x)（带权）正交。x0…xn为Gauss点“”要证明x0…xn为Gauss点，

6、即要证公式对任意次数不大于2n+1的多项式Pm(x)精确成立，即证明：设0n次多项式TH5表明，在[a,b]上带权的n+1次正交多项式的零点就是求积公式的高斯点。如何通过正交多项式求高斯点？正交多项式族{0,1,…,n,…}有性质：任意次数不大于n的多项式P(x)必与n+1正交。若取w(x)为其中的n+1则n+1的根就是Gauss点。再解上例：+101100)()()(xfAxfAdxxfxStep1：构造正交多项式2设cbxxxaxxx++=+==2210)(,)(,1)(jjj53-=a0)(10=+dxaxx0),(10=jj=++-

7、==++=1021102100))(53(0),(0)(0),(dxcbxxxxdxcbxxxjjjj215910=-=cb即：Step2：求2=0的2个根，即为Gauss点x0，x1Step3：代入f(x)=1,x以求解A0，A1解线性方程组，简单。结果与前一方法相同：利用此公式计算的值注：构造正交多项式也可以利用L-S拟合中介绍过的递推式进行。Gauss型求积公式具有数值结果精度高,收敛得以保证、计算简便、易于在计算机上实现等优点,并且在积分区间[a,b]有限时便于推广到高维数值积分.不足之处是公式的构造比较困难,另