第4章小波变换ppt课件.ppt

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1、4.3小波变换傅立叶变换的局限性只能确定信号中有哪些频率，但不能确定此频率何时发生。傅立叶变换的局限性在实际中,时变信号是常见的，如语音信号、地震信号、雷达回波等。在这些信号的分析中，希望知道信号在突变时刻的频率成份在实际应用中，也不乏不同的时间过程却对应着相同的频谱的例子。4.3.1Gabor变换由于Fourier变换存在着不能同时进行时间－频率局部分析的缺点，曾出现许多改进的方法。1946年D.Gabor提出一种加窗的Fourier变换方法，它在非平稳信号分析中起到了很好的作用。是一种有效的信号分析方法，而且与

2、当今的小波变换有许多相似之处。换句话说，该变换是用一个窗函数g(t-τ)与信号f(t)相乘实现在τ附近开窗和平移，然后施以Fourier变换，这就是Gabor变换也称短时Fourier变换或加窗Fourier变换。Gabor变换的定义由下式给出：对于f(t)∈L2(R)(1).Gabor变换的定义在Gabor变换中，把非平稳过程看成是一系列短时平稳信号的叠加，而短时性是通过时间上加窗来实现的。整个时域的覆盖是由参数τ的平移达到的。其中是积分核。该变换在τ点附近局部测量了频率为ω的正弦分量的幅度。通常g(t)选择能量

3、集中在低频处的实偶函数；（1）D.Gabor采用高斯(Gauss)函数作窗的函数，相应的Fourier变换仍旧是Gauss函数，从而保证窗口Fourier变换在时域和频域内均有局部化功能。令窗口函数为则有：式中a决定了窗口的宽度，的Fourier变换用表示。（2）显然信号f(t)的Gabor变换按窗口宽度分解了f(t)的频谱F(ω)。提取出它的局部信息。当τ在整个时间轴上平移时，就给出了Fourier的完整变换。相应的重构公式为：窗口Fourier变换是能量守恒变换，即:（3）（4）但Gabor变换的时－频口是固定

4、不变的，窗口没有自适应性，不适于分析多尺度信号过程和突变过程，而且其离散形式没有正交展开，难于实现高效算法，这是Gabor变换的主要缺点，因此也就限制了它的应用。小波的概念是由法国的从事石油勘测信号处理的地球物理学家J.Morlet于1984年提出的。他在分析地震波的时频局部特性时,希望使用在高频处时窗变窄,低频处频窗变窄的自适应变换。但Fourier变换很难能满足这一要求，随后他引用了高斯余弦调制函数，将其伸缩和平移得到一组函数系，它后来被称之为“Morlet小波基”。3.4.2小波变换Morlet这一根据经验建

5、立的公式当时并未得到数学家的认可，幸运的是A.Caldron的发现、Hardy空间原子分解的深入研究已为小波变换的诞生作了理论上的准备。后来，J.o.Stromberg构造了第一个小波基。1986年著名的数学家Y.Meyer构造了一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的统一方法－－多尺度分析。从此，小波分析开始了蓬勃发展的阶段。值得一提的是比利时女数学家I.Daubechies的“TenlecturesonWavelet”一书对小波的普及应用起了重要的推动作用。1986年S.Jafferd、Y.

6、Meyer与从事信号处理的S.mallat合作指出小波正交基的构造可纳入一个统一框架，引入多分辨分析的概念，统一了前人构造的具体小波，并给出了多分辨分析的构造正交小波基的一般化方法。S.Mallat还提出了小波变换的快速分解与重构算法，现在称之为Mallat算法。小波变换的快速算法——Mallat为了提取高频分量，时域窗口应尽量窄，频域窗口适当放宽。对于慢变的低频信号，时窗可适当加宽，而频窗应尽量缩小，保证有较高的频率分辨率和较小的测量误差。总之，对多尺度信号希望时－频窗口有自适应性，高频情况下，频窗大，时窗小，低

7、频情况下，频窗小，时窗大。但Gabor变换的时－频口是固定不变的，窗口没有自适应性，不适于分析多尺度信号过程和突变过程，而且其离散形式没有正交展开，难于实现高效算法，这是Gabor变换的主要缺点，因此也就限制了它的应用。1.小波形如下式的函数称之为小波。其中a为尺度参数，b是定位参数。4.3.3连续小波变换（5）若a>1，函数具有伸展作用，若0＜a<1，函数具有收缩作用。而其Fourier变换则恰好相反。伸缩参数a对小波的影响见下图。小波随伸缩参数a平移参数b而变化如下图所示。a:a<1;b:a=1;c:a>1。小

8、波的波形随参数变化的情形图中小波函数为。当a=2,b=15时，的波形从原点向右移至t=15且波形展宽，a=0.5,b=-10时，则是从原点向左平移至t=-10处且波形收缩。随着参数a的减小，的支撑区也随之变窄，而的频谱随之向高频端展宽，反之亦然。这就有可能实现窗口大小自适应变化，当信号频率增高时，时窗宽度变窄，而频窗宽度增大，有利于提高时域分辨率，反之亦然。