第4章 快速付里叶变换FFTppt课件.ppt

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1、第四章快速付里叶变换主要内容1.FFT引入、快速计算思想和方案；2.基2-FFT的原理；3.其它类型FFT：混合基、分裂基和CZT；4.FFT的应用。一、FFT引入及快速计算的思想一、直接计算DFT计算量问题提出：设有限长序列x(n),非零值长度为N,计算对x(n)进行一次DFT运算，共需多大的运算工作量?1.比较DFT与IDFT之间的运算量其中x(n)为复数，也为复数所以DFT与IDFT二者计算量相同。2.以DFT为例，计算DFT复数运算量计算一个X(k)(一个频率成分)值，运算量为例k=1则要进行N次复数乘法+(N-1)次复数加法

2、所以，要完成整个DFT运算，其计算量为：N*N次复数相乘+N*(N-1)次复数加法3.一次复数乘法换算成实数运算量复数运算要比加法运算复杂，需要的运算时间长。一个复数乘法包括4个实数乘法和2个实数相法。(a+jb)(c+jd)=(ac-bd)+j(bc+ad)4次实数乘法2次实数加法4.计算DFT需要的实数运算量每运算一个X(k)的值，需要进行4N次实数相乘和2N+2(N-1)=2(2N-1)次实数相加.整个DFT运算量为：4N2次实数相乘和2N(2N-1)次实数相加.由此看出：直接计算DFT时，乘法次数与加法次数都是和N2成比例的。当N

3、很大时，所需工作量非常可观。例子：例1:当N=1024点时，直接计算DFT需要：N2=220=1048576次，即一百多万次的复乘运算这对实时性很强的信号处理(如雷达信号处理)来讲，它对计算速度有十分苛刻的要求-->迫切需要改进DFT的计算方法，以减少总的运算次数。例2：石油勘探，24道记录，每道波形记录长度5秒，若每秒抽样500点/秒，每道总抽样点数=500*5=2500点24道总抽样点数=24*2500=6万点DFT运算时间=N2=(60000)2=36*108次二、改善DFT运算效率的基本途径利用DFT运算的系数的固有对称性和周期性

4、，改善DFT的运算效率。合并法：合并DFT运算中的某些项。分解法：将长序列DFT利用对称性和周期性，分解为短序列DFT。利用DFT运算的系数的固有对称性和周期性，改善DFT的运算效率的对称性：的周期性：因为：由此可得出：例子例:利用以上特性,得到改进DFT直接算法的方法.(1)合并法：步骤1分解成虚实部合并DFT运算中的有些项对虚实部而言所以带入DFT中：(1)合并法：步骤2代入DFT中展开：(1)合并法：步骤3合并有些项根据：有：(1)合并法：步骤4结论由此找出其它各项的类似归并方法：乘法次数可以减少一半。例：2、将长序更DFT利用对称

5、性和周期性分解为短序列DFT--思路因为DFT的运算量与N2成正比的如果一个大点数N的DFT能分解为若干小点数DFT的组合，则显然可以达到减少运算工作量的效果。2、将长序列DFT利用对称性和周期性分解为短序列DFT--方法把N点数据分成二半：其运算量为：再分二半：+=+++=这样一直分下去，剩下两点的变换。2、将长序列DFT利用对称性和周期性分解为短序列DFT--结论快速付里时变换(FFT)就是在此特性基础上发展起来的，并产生了多种FFT算法，其基本上可分成两大类：按抽取方法分：时间抽取法(DIT);频率抽取法(DIF)按“基数”分：基-

6、2FFT算法；基-4FFT算法；混合基FFT算法；分裂基FFT算法其它方法：线性调频Z变换(CZT法)二、基--2FFT算法时域抽取DIT频域抽取DIFIFFT计算方法（一）基--2按时间抽取的FFT算法(DIT)一、算法原理设输入序列长度为N=2M(M为正整数，将该序列按时间顺序的奇偶分解为越来越短的子序列，称为基2按时间抽取的FFT算法。也称为Coolkey-Tukey算法。其中基数2----N=2M，M为整数.若不满足这个条件，可以人为地加上若干零值（加零补长）使其达到N=2M例子设一序列x(n)的长度为L=9,应加零补长为N=2

7、4=16应补7个零值。0123456789101112131415nx(n)二、算法步骤1.分组，变量置换DFT变换：先将x(n)按n的奇偶分为两组，作变量置换:当n=偶数时，令n=2r;当n=奇数时，令n=2r+1;得到：x(2r)=x1(r);x(2r+1)=x2(r);r=0…N/2-1;则其DFT可化为两部分：前半部分：后半部分：2.代入DFT中生成两个子序列x(0),x(2)…x(2r)奇数点x(1),x(3)…x(2r+1)偶数点代入DFT变换式：3.求出子序列的DFT上式得：4.结论1一个N点的DFT被分解为两个N/2点DF

8、T。X1(k),X2(k)这两个N/2点的DFT按照：再应用W系数的周期性，求出用X1(k),X2(k)表达的后半部的X(k+N/2)的值。5.求出后半部的表示式看出：后半部的k值所对应的X1