第4章 平面问题基本理论及有限元求解ppt课件.ppt

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1、第3章平面问题基本理论及有限元法机械与汽车工程学院SchoolofMechanicalandAutomobileEngineering§3-1平面应力问题与平面应变问题在实际问题中，任何一个弹性体严格地说都是空间物体，它所受的外力一般都是空间力系。但是，当所考察的弹性体的形状和受力情况具有一定特点时，如果经过适当的简化和抽象处理，可以简化为弹性力学平面问题，将使计算工作量大为减少。一、平面应力问题图3－1等厚度薄板，只在板边受到平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。应力特征如图选取坐标系，

2、以板的中面为xy平面，垂直于中面的任一直线为z轴。由于板面上不受力，有因板很薄，且外力沿z轴方向不变。可认为整个薄板的各点都有：图3－1结论：平面应力问题只剩下三个应力分量：应变分量、位移分量也仅为x、y的函数，与z无关。xy共六个应力分量xy特征：1)长、宽尺寸远大于厚度。2)沿板边受有平行板面的面力，且沿厚度均布，体力平行于板面且不沿厚度变化，在平板的前后表面上无外力作用。注意：平面应力问题z=0，但二、平面应变问题x图3－2如：挡土墙、受内压的圆柱管道和长水平巷道等。设有很长的柱体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿

3、长度变化的面力，同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化。厚壁圆筒(1)几何特征水坝一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。——近似认为无限长(2)外力特征外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度z方向不变化。约束——沿长度z方向不变化。(3)变形特征建立如图坐标系：以任一横截面为xy面，任一纵向线为z轴。设z方向为无限长，则沿z方向都不变化，仅为x、y的函数。任一横截面均可视为对称面水坝所有各点的位移分量都平行于xy平面。——也叫平面位移问题水坝——平面应变问题注：(1)平面应变问题中

4、但是，(2)平面应变问题中有四个应力分量：——仅为x、y的函数。如图所示三种情形，是否属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应变问题非平面问题----空间问题三.平面问题的求解问题：已知：外力（体力、面力）、边界条件，求：——仅为x、y的函数需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：（2）几何学关系：应力与体力、面力间的关系；应变与位移间的关系；——平衡微分方程——几何方程（3）物理学关系：应变与应力间的关系。建立边界条件：——物理方程（1）应力边界条件；（2）位移边界条件；（3）混合边界条件；平面问题

5、定义（总结）严格地讲，任何结构都是空间的对于某些特殊情况，空间问题可以转化为平面问题。1、平面应力问题满足条件：1）几何条件厚度尺寸远远小于截面尺寸2）载荷条件载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而板平面不受任何外力作用此时，应力应变分量变为：几何方程物理方程2、平面应变问题满足条件1）几何条件结构呈等截面的细长形2）载荷条件载荷垂直于厚度方向(平行横截面)且沿厚度均匀分布，两个端面不受力此时，应力应变分量变为：物理方程弹性力学的参量及方程汇总1）参量位移：应力：应变：2）方程平衡方程：几何方程：物理方程：其中：第二节平

6、面问题的有限元法平面问题的有限元分析步骤（平面应力问题）1、结构离散离散：将一个连续的弹性体分割为一定形状和数量的单元的组合单元也称为网格连续体→有限个单元的组合体可用于离散的单元三角形单元矩形单元不规则四边形单元DOF节点的自由度：节点所具有的位移分量的数量。一个单元所有节点的自由度总和称为单元自由度单元参数只能通过节点传递到相邻单元单元和节点必须统一编号2、单元分析（位移、应力、应变）任务：形成单元刚度矩阵，建立单元特性方程因此必须建立坐标系，如下图：1）位移函数分片插值→假设一种函数来表示单元位移分布一般选取多项式（

7、简单而且易求导）对于三角形单节点单元（DOF=6）（系数矩阵）三角形面积克莱姆法则代数余子式（行）某一列各元素与其代数余子式乘积之和=0?=0?相邻单元的位移分别进行线性插值后，在公共边上将是连续的！2)单元应力和应变将位移表达式（2-3）和（2-4）代入几何方程得：[B]为常数矩阵，因此三角形三节点单元为常应变单元。则应力向量可以表示为：[D]、[B]均为常数矩阵，因此三角形三节点单元为常应力单元。例4-1图示为一平面应力单元，厚度为t，求形函数矩阵、单元应变矩阵、单元应力矩阵。3）单元刚度矩阵设作用在单元节点上的单元节

8、点力列阵为：而节点发生的虚位移为：则节点力在虚位移上做的虚功为：将（2-5）展开得：单元刚度矩阵的物理意义：在一个节点处产生单位位移而其他点为零时，在该节点上需要的外力的大小。单元刚度矩阵的特性（1）对称性：（弹性力学互等定理）（2）奇异性：（刚体位移）单元刚度矩阵的特性（3）单元刚度矩阵主对角元素恒为