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1、第四章向量组的线性相关性定义1分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，一、维向量的概念§1向量组及其线性组合例如n维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量二、维向量的表示方法维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用 等表示，如：维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用 等表示，如：注意１．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；３．当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.向 量解析几何线性代数既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组几何形象： 可随意平行移动的有向
2、线段代数形象： 向量的坐 标 表 示 式坐标系三、向量空间空 间解析几何线性代数点空间：点的集合向量空间：向量的集合坐标系代数形象： 向量空间 中 的 平 面几何形象： 空间直线、曲线、空间平面或曲面一 一 对 应叫做维向量空间．时，维向量没有直观的几何形象．叫做维向量空间 中的维超平面．确定飞机的状态，需要以下6个参数：飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的仰角机翼的转角所以，确定飞机的状态，需用6维向量维向量的实际意义２．向量的表示方法：行向量与列向量；３．向量空间：解析几何与线性代数中向量的联系与区别、向量空间的概念；４．向量在生产实践与科学研究中的广泛
3、应用．四、小结１．维向量的概念，实向量、复向量；若一个本科学生大学阶段共修36门课程,成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多举几例,说明向量的实际应用．思考题若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例如1、向量、向量组与矩阵五、向量组的线性组合向量组,,…， 称为矩阵A的行向量组．反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.定义１线性组合2.向量组的线性组合向量能由向量组线性表示．AX=b有解3.线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．定理1定义２向量组能由向量组线性表示向量组等价．从而
4、AX=B有解证明系数矩阵存在I（线性方程组有解）是证明向量组等价的一种思路证明向量组等价的另一种思路定理2向量组B能由向量组A线性表示的充要条件是R(A)=R(A，B),其中矩阵A=(a1,a2,……,am),B=(b1,b2,……,bl).推论：向量组A：a1,a2,……,am与向量组B：b1,b2,……,bl等价的充分必要条件是R(A)=R(B)=R(A,B),其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵。向量组A：a1,a2,……,am能由向量组B：b1,b2,……,bl线性表示存在矩阵K，使得B=AK，其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵。AX=B有解。定理3：向量组B：b1,b2,
5、……,bl能由向量组A：a1,a2,……,am线性表示，则R(B)≤R(A)。其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵。注意定义4§2向量组的线性相关性则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关．定理 向量组（当时）线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表示．证明充分性设中有一个向量（比如）能由其余向量线性表示.即有二、线性相关性的判定故因这个数不全为0，故线性相关.必要性设线性相关，则有不全为0的数 使因中至少有一个不为0，不妨设 则有即能由其余向量线性表示.证毕.线性相关性在线性方程组中的应用定理2结论解例１解例２分析证定理3部分相关则整体相关整体无关
6、则部分无关证明说明说明１.向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；２.线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；（重点）３.线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理．（难点）四、小结思考题§3向量组的秩一、最大线性无关向量组与向量组的秩定义1：设有向量组A，如果在A中能选出r个向量a1,a2,…ar，满足（1）向量组A0：a1,a2,…ar线性无关；（2）向量组A中任意r+1个向量（如果A中有r+1个向量）都线性相关；那么称向量组A0是向量组A的一个最大线性无关向量组（简称最大无关组）；最大无关组所含向量个数r称为向量组A的秩
7、，记作RA.只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0。定义2：设向量组A0：a1,a2,…ar是向量组A的一个部分组，且满足（1）向量组A0线性无关；（2）向量组A的任一向量都能由向量组A0线性表示；那么向量组A0便是向量组A的一个最大无关组。证明：根据定义1，要证明此定义与定义1等价，只需要证明向量组A中的任意r+1个向量线性相关。设b1,b2…br+1是A中任意r+1个向量，因为这r+1个向量能由向量组A0线性表示，所以有R(b1,b2…br+
