第2章：单自由度系统的振动ppt课件.ppt

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1、第一篇离散系统的线性振动第一篇离散系统的线性振动第2章单自由度系统的振动第2章单自由度系统的振动§2-1单自由度系统的力学模型与运动方程①弹性恢复力:②阻尼力:③惯性力:直接平衡法:阻尼比:无阻尼自振圆频率:系统的等价第2章单自由度系统的振动系统的等价例：外伸梁的尺寸如图所示，梁的抗弯刚度为EI，伸臂的端点固定一质量为M的重物，不计梁的质量，试确定其自由振动的频率。问题：如何确定keq?δ为柔度系数等效刚度第2章单自由度系统的振动（1）画单位弯矩图，求柔度系数。解：（2）求等效刚度系数和固有频率。第2章单自由度系统的振动图2.1.2以转角θ为广义坐标的

2、单自由度系统例2.1.1试列出图示系统运动的微分方程，并计算系统的固有频率。解：取转角θ为广义坐标，应用虚功方程，设系统发生一个约束允许的虚位移δθ：例2.1.1惯性力的虚功：第2章单自由度系统的振动惯性力的虚功：阻尼力的虚功：弹性力的虚功：外力的虚功：图2.1.2以转角θ为广义坐标的单自由度系统例2.1.1例2.1.1(续)第2章单自由度系统的振动整理得：由δθ的任意性：典型方程：等效质量：等效阻尼：等效刚度：等效荷载：固有频率：虚功原理：应用拉格朗日方程推导运动方程第2章单自由度系统的振动拉格朗日函数:应用拉格朗日方程推导运动方程第2章单自由度系统

3、的振动图2.1.3单自由度扭振系统例2.1.2试推导系统作自由扭振时的运动方程。解：圆盘的扭振由扭转角θ来确定由于扭振，园盘产生惯性扭矩圆杆的扭转变形对园盘产生MT动平衡方程：变形与内力的关系：R—园盘的半径，r—圆杆的半径，m—园盘的总质量，KT—圆杆抵抗扭转变形的线刚度。运动方程：例2.1.2例2.1.3第2章单自由度系统的振动例2.1.3图示水塔，水箱的总质量为M，抗弯刚度和单位长度的质量分别为EI(x)和m(x)，塔受水平分布荷载q(x,t)的作用，试建立系统的运动方程。如何将无限自由度问题简化为单自由度问题？问题：解：设描述塔身弯曲变形的形状

4、函数为φ(x)，将塔的弯曲变形表示为φ(x)有多种选择的可能，只要满足约束条件即可，例如，取静力问题中悬臂梁在均布荷载作用下的挠度曲线函数。注意：图2.1.4水塔模型例2.1.3第2章单自由度系统的振动应用哈密顿原理来推导系统的运动方程Wnc为非保守力，即外荷载所做的功。哈密顿原理：例2.1.3第2章单自由度系统的振动令：广义荷载：广义质量：广义刚度：(2.1.19)因为：由δY的任意性：优点：以能量积分为基础，可对任意形式的连续系统进行离散。与数值方法相结合，便于大型结构体系的数值计算。§2-2单自由度系统的自由振动分析第2章单自由度系统的振动齐次解

5、，自由振动；特解，受迫振动；无阻尼振动；有阻尼振动。§2-2单自由度系统的自由振动分析2.2.1无阻尼系统的自由振动分析第2章单自由度系统的振动2.2.1无阻尼系统的自由振动分析自由振动方程：固有圆频率：通解：周期振动：自然频率：单位：Hz，每秒钟往复振动的次数。关系:自由振动响应第2章单自由度系统的振动初始条件:自由振动响应:一般形式：图2.2.1无阻尼自由振动曲线振幅:初相角:相位关系第2章单自由度系统的振动相位关系:速度超前位移π/2,加速度超前位移π。动态平衡：2.2.2有阻尼系统的自由振动分析第2章单自由度系统的振动2.2.2有阻尼系统的自由

6、振动分析有阻尼自由振动方程：衰减系数n=c/2m设解：特征根：通解：(1)小阻尼系统临界衰减系数：第2章单自由度系统的振动临界阻尼系数：阻尼比：(1)小阻尼系统：复共轭特征对：自由振动通解：由欧拉公式和自由振动衰减曲线第2章单自由度系统的振动振幅:初相角:图(2.2.2)有阻尼单自由度系统自由振动衰减曲线振幅按负指数函数的规律率减;特点：小阻尼时:关系：实验测定阻尼比的方法第2章单自由度系统的振动计算相邻两个位移峰值之比值：实验测定阻尼比的方法记录下系统作自由振动的衰减曲线；计算对数衰减率：阻尼比：例2.2.1第2章单自由度系统的振动实用公式：优点：减

7、少读数随机误差；平均结果更接近实际情况。例2.2.1某系统作自由衰减振动，由衰减实验曲线的测量发现，经过5个周期振幅减至原来的一半，求系统的阻尼比。解：(2)大阻尼系统第2章单自由度系统的振动(2)大阻尼系统：一对实特征根：通解：根据初始条件得:最后结果：(2)大阻尼系统第2章单自由度系统的振动(3)临界阻尼系统：大阻尼和临界阻尼系统的共同特点：不呈现振动形式；随时间逐步衰减直至消失。根据初始条件得:2.2.3能量法求系统的固有频率2.2.3能量法求系统的固有频率第2章单自由度系统的振动总能量守恒:自由振动响应:2.2.3能量法求系统的固有频率的实例第

8、2章单自由度系统的振动例2.2.2试确定图示倒摆在铅垂平面内作微小旋转振动时的稳定条件和角频率