第2章导数与微分ppt课件.ppt

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1、高等数学制作单位：成都医学院第2章导数与微分主要内容一、导数的概念二、求导法则三、函数的微分四、中值定理、罗彼塔法则五、利用导数研究函数的性态极限反映在一定变化条件下函数的变化情况；连续反映的是在这种变化下是否具备某种特定的变化；导数反映相对于自变量函数的变化快慢的程度；微分反映自变量有微小变化时函数变化的多少．一、导数的概念1、变化率问题举例解：1）先求平均速度变化到，路程的增量为：质点在时间内，平均速度为：2）再求瞬时速度通过上例，再研究式（1）（式1）下面通过三个步骤，抽象出函数的增量与自变量的增量之比的

2、极限（当自变量增量趋于0时）。步骤1当自变量在给定值处有一增量，函数平均变化率。2、导数的定义★说明解：由以上两例，类似地对幂函数（是实数），有：这是幂函数的导数公式。同理：即：特别地，时，有：3、导数的几何意义T4、函数可导与连续的关系反之，未必，即：连续不一定可导！★注意函数可导则函数必连续，即：二、求导法则1、函数四则运算的求导法则处可导，定理2.1设函数都在即具有导数和，则有（C为常数）；定理2.1的1）、2）可以推广到有限多个函数的情形，如下：例6求函数的导数。解：例7，求★注意，解：例8求函数的导数

3、。解：例9求函数的导数。解：同理：例10求函数的导数。解：同理：2、复合函数的求导法则该法则说明复合函数之导数等于对各中间变量导数的乘积．例11求下列函数的导数解：课堂练习：3、反函数的求导法则即：反函数的导数等于直接函数导数的倒数。反函数与直接函数实际上是一个等式，只是自变量因变量不同而已。即：特别地：例13已知函数，求。解：已知函数是的反函数，单调、可导，且，故在内有：在即：同理可得：4、对数求导法求这种函数的导数，常用对数求导法来解决。的函数称为幂指函数。形如例14设幂指函数求解：两边取对数得：两边对求导

4、数得：即：幂指函数也可以改写为：从而直接利用显函数求导法求导。解：两边取对数得：两边对求导数得：即：解：设，则两边取对数得：对则，续例16即：所以：5、隐函数求导法1）先将隐函数显化后用以前的方法求导；隐函数的求导方法有两种：例17求由方程所确定的隐函数的导数。求导数得：解：两端对自变量例18设，求求导数得：解：两端对自变量又当时，从原方程得，代入上式得：例19求椭圆在点处的切线方程。求导数得：解：两端对自变量又点位于椭圆上，由导数的几何意义知：故所求切线方程为：即：所求切线的斜率为：6、由参数方程所确定的函数

5、的求导法由参数方程所确定函数的求导方法有两种：方法一：消去参数用前面的方法解。如：方法二：在中，若具有单调连续的反函数则通过代入法消参得，它可以看作是由复合而成的函数，若则由复合函数求导法则有：这即是参数方程的求导公式：函数的导数等于因变量与自变量分别对参数的导数之商。例20求椭圆在处的切线方程。解：因为所以，故又当时，由点斜式得所求切线方程为：即：2）幂函数的导数：3）对数函数的导数：特别地：时，4）正弦函数和余弦函数的导数：7、初等函数的导数5）正切函数和余切函数的导数：，，6）正割函数和余割函数的导数：7

6、）指数函数的导数：特别地：8）反三角函数的导数：8、高阶导数把的导数称为函数的二阶导数。记为：阶导数的导数称为三阶导数，记为；三阶导数的导数阶称为四阶导数，记为；阶导数的导数称为导数，记为。二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数例21，求解：例22设求证：两个函数的和差积求高阶导数：例23设，求解：设则：三、函数的微分1、微分的定义导数反映的是函数相对于自变量的变化快慢的程度（变化率的大小），即：当时的极限。微分是讨论自变量发生了很小变化的情况下函数改变量本身的。引例面积的改变量大小如图，一块正方形金属薄片受温度变

7、化的影响时，其边长由变化到，问此薄片的面积改变了多少？设此薄片的面积为，则是边长的函数，薄片受温度变化的影响时面积的改变量为：第一部分称为的线性部分，它表示阴影面积，是主要部分；第二部分为的高阶无穷小（若），是次要部分。其中：故可以用第一部分近似代替面积的增量，即：我们称这个近似值为面积S的微分，记为可表示为：那么称函数在点是可微的。续定义2.32、微分与导数的关系结论：于是，又可以写成：因此，当很小时，可以用作为的近似值，即：且令，则：上式表明：自变量的微分等于自变量的改变量。于是函数的微分又可以记为：由可见

8、，函数的微分与及有关。上式表明函数的微分等于该函数的导数与自变量微分的乘积。上式两边除以，得：★注意由微分定义可知，只要求出导数，微分也就求出来了，因此，求微分的问题，可归结为求导数的问题，故求导法又叫微分法。3、微分的几何意义函数在某点的微分等于曲线在该点切线的纵坐标的增量。4、微分的基本公式和运算法则同样，可以根据函数的和、差、积、商的求导法则，得到函数的和、差、积、商的求微分法则