第2章 内积空间ppt课件.ppt

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1、第2章内积空间2.1内积空间的概念2.2正交基及子空间的正交关系2.3内积空间的同构2.4正交变换2.5点到子空间的距离与最小二乘法2.6复内积空间（酉空间）2.7正规矩阵2.8*厄米特二次型2.9*力学系统的小振动线性空间只是考虑了向量“加法”和“数乘”的两个基本线性运算，然而在线性空间中缺少向量的度量的概念，例如向量的长度与夹角．我们将在本章中引入内积的概念，得到向量的长度与夹角等重要的概念，深化对线性空间、线性变换的研究，由线性空间得到内积空间.2.1内积空间的概念在内积空间里，我们利用“正交”概念，可以选择一种特殊的、使用起来很方便的基，称为正交基.这在普通的线性空间里是没有的

2、.正交基的引入，得到在内积空间中增加了不少在一般线性空间中所没有的、且非常有实用价值的性质.2.2正交基及子空间的正交关系子空间正交的概念与线性空间的同构类似，以下讨论内积空间的同构问题.由于内积空间是定义了内积的线性空间，故下述定义的很自然的．2.3内积空间的同构由定义可知，同构的两个欧氏空间有相同的维数．2.4正交变换在内积空间中有一种特别的线性变换（正交变换），在许多场合都很有用，这种变换在欧氏空间（有限维实内积空间）中常可叙述为几个相互等价的提法，这些提法的每一种都刻画了正交变换的基本性质.2.5点到子空间的距离与最小二乘法先设一个子空间W，它是由向量α1,α2,…,αk所生成

3、，即W=L(α1,α2,…,αk).说一个向量α垂直于子空间W，就是指向量α垂直于W中任何一个向量.已知α垂直于W的充分必要条件是α垂直于W中的每个向量αi(i=1,2,…,k).在中学所学几何中知道一个点到一个平面（或一条直线）上所有点的距离以垂线最短.下面证明一个固定向量和一个子空间中各向量间的距离也是以“垂线最短”.现给定β，设γ是W中的向量，满足β-γ垂直于W.要证明β到W中各向量的距离以垂线最短，就是要证明，对于W中任一向量δ，有

4、β-γ

5、≤

6、β-δ

7、.我们可以画出下面的示意图：证明由β-δ=(β-γ)+(γ-δ)因W是子空间，γ∈W,δ∈W,则γ-δ∈W.故β-γ垂直于γ-

8、δ.由勾股定理，

9、β-γ

10、2+

11、γ-δ

12、2=

13、β-δ

14、2.故

15、β-γ

16、≤

17、β-δ

18、.证毕.Wβγδγ-δβ-γβ-δ最小二乘法问题：设线性方程组无解.即任何一组数x1,x2,…,xs都使得偏差(1)不等于零.我们设法找实数组x10,x20,…,xs0使偏差式(1)最小，这样的x10,x20,…,xs0称为方程组的最小二乘解.这一方法就叫最小二乘法.下面利用欧氏空间的概念来表达最小二乘法，并给出最小二乘解所满足的代数条件.令(2)用距离的概念，(1)就是最小二乘法就是找x10,x20,…,xs0使向量Y与向量B的距离最短.但从(2)知道向量Y就是把A的各列向量分别记成α1,α2,…,αs

19、.由它们生成的子空间为L(α1,α2,…,αs).Y就是L(α1,α2,…,αs)中的向量.于是最小二乘法问题可叙述成：

20、Y-B

21、2.找X使(1)最小，就是在L(α1,α2,…,αs)中找一向量Y，使得B到它的距离比到子空间L(α1,α2,…,αs)中其它向量的距离都短.应用前面所讲的结论，设是所求的向量，则C=B-Y=B-AX必须垂直于子空间L(α1,α2,…,αs).为此必须而且只需满足内积由矩阵乘法规则，上述一串等式可以写成矩阵相乘的式子，即或ATAX=ATB这就是最小二乘解所满足的代数方程，它是一个线性方程组，系数矩阵是ATA，常数项是ATB.这种线性方程组总是有解的.而α1T

22、,α2T,…,αsT按行正好排成矩阵AT，上述一串等式可合起来就是α1TC=0,α2TC=0,…,αsTC=0.ATC=AT(B-AX)=02.6复内积空间（酉空间）2.7正规矩阵