第1章 傅里叶光学基础ppt课件.ppt

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1、第一章傅里叶光学基础第一章傅里叶光学基础1．1二维傅里叶分析1．2空间带宽积和测不准关系式1．3平面波的角谱和角谱的衍射1．4透镜系统的傅里叶变换性质1.1二维傅里叶分析1.1.1定义及存在条件复变函数器g(x,y)的傅里叶变换可表为G(u,v)=F{g(x,y)}=∞-∞g(x,y)exp[-i2(ux+vy)]dxdy(1)称g(x,y)为原函数，G(u,v)为变换函数或像函数。(1)式的逆变换为g(x,y)=F-1{G(u,v)}=∞-∞G(u,v)exp[i2(ux+vy)]dudv(2)傅里叶-贝塞尔变换设函数g(r,

2、)=g(r)具有圆对称，傅里叶-贝塞尔变换为G()=B{g(r)}=2∞org(r)Jo(2r)dr其中Jo为第一类零阶贝塞尔函数傅里叶-贝塞尔逆变换为g(r)=B-1{G()}=2∞oG()Jo(2r)d变换存在的条件为(1)g(x,y)在全平面绝对可积；(2)g(x,y)在全平面只有有限个间断点，在任何有限的区域内只有有限个极值；(3)g(x,y)没有无穷大型间断点。以上条件并非必要，实际上，“物理的真实”就是变换存在的充分条件。以下我们常用g(x,y)G(u,v)表示变换对．对于光学傅里叶变换，x，y是空

3、间变量，u，v则是空间频率变量。在一维情况下，有时也用希腊字母v表示频率变量。1.1.2δ函数的傅里叶变换由δ函数的定义容易得到δ(x-xo,y-yo)exp[-i2(uxo+vyo)](3)当xo=0，yo=0时得到δ(x,y)1(4)上式的物理意义表示点源函数具有权重为l的最丰富的频谱分量．因此光学中常用点光源来检测系统的响应特性，即脉冲响应．(3)式还可表为,δ(x-xo,y-yo)=∞-∞exp{-i2[u(x-xo)+v(y-yo)]}dudv它正是δ函数的积分表达式．根据δ函数的偏导数的定义∞-∞δ(n)(x)g(

4、x)dx=(-1)ng(n)(0)(6)得到δ(k,l)(x,y)的傅里叶变换δ(k,l)(x,y)=k+lδ(x,y)/xkyl)(i2u)k(i2v)l(7)1.1.3傅里叶变换的基本性质(1)线性(linearity)Ag(x,y)+Bh(x,y)AG(u,v)+BH(u,v)(8)(2)缩放及反演(scalingandinversion)g(ax,by)G(u/a,v/b)/

5、ab

6、(9)上式表明空域信号的展宽将引起频域信号的压缩.特别是当a=b=-1时，得到反演的变换性质：g(-x,-y)G(-u,-v)(10)

7、(3)位移(shift)g(x+xo,y+yo)exp[i2(uxo+vyo)]G(u,v)(11)上式表示原函数的位移引起变换函数的相移.(4)共扼(conjugation)g*(x,y)G*(-u,-v)(12)(5)卷积(convo1ution)g(x,y)和h(x,y)的卷积定义：g(x,y)h(x,y)=∞-∞g(,)h(x-,y-)dd易证明:g(x,y)h(x,y)G(u,v)H(u,v)δ函数的卷积有特殊的性质：g(x)δ(x-xo)=g(x-xo)(15)g(x,y)δ(k,l)(x,y)=

8、g(k,l)(x,y)(16)(6)导数的变换公式可由(7)式导出g(k,l)(x,y)(i2u)k(i2v)lG(u,v)(17)(7)相关(correlation)函数g(x,y)和h(x,y)的相关定义为g(x,y)h(x,y)=∞-∞g(,)h(x+,y+)dd当g=h时成为自相关，有g(x,y)g(x,y)=∞-∞g(,)g(x+,y+)dd相关的变换可以利用卷积的变换公式导出：g(x,y)h(x,y)=g*(-x,-y)h(x,y)G*(u,v)H(u,v)g(x,y)g(x,y

9、)∣G(u,v)∣2(21)自相关与功率谱构成傅里叶变换(8)矩(moment)g(x,y)的(k,l)阶矩定义为Mk,l=∞-∞g(x,y)xkyldxdy(22)将逆变换表达式(2)代入上式，得到Mk,l=∞-∞G(u,v)dudv∞-∞xkylexp[i2(ux+vy)]dxdy由δ函数导数的变换表达式(7)，上式内部的积分∞-∞xkylexp[i2(ux+vy)]dxdy=(i2)-k-lδ(k,l)(u,v)矩的表达式Mk,l=(-i2)-k-lG(k,l)(0,0)(9)Parseval定理g(x,y)

10、h(x,y)G*(u,v)H(u,v)式可用逆变换表达式改写为∞-∞g(,)h(x+,y+)dd=∞-∞G*(u,v)H(u,v)exp[i2(ux+v