第19讲一元微积分应用(二)ppt课件.ppt

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1、高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（一）第十九讲一元微积分的应用(二)——函数(曲线)的凹凸性、拐点、函数图形的描绘一、曲线的凹凸性、拐点二、曲线的渐近线三、函数图形的描绘第六章一元微积分的应用第三节曲线的凹凸性、函数图形的描绘我们说一个函数单调增加,你能画出函数所对应的曲线的图形吗??!..一、曲线的凹凸性、拐点它的图形的形式不尽相同.一般说来,对于一个区间上单调的函数的图形都存在一个需要判别弧段位于相应的弦线的“上方”或“下方”的问题.在数学分析中将这种问题称为曲线(函数)的凹凸性问题.简单地说,在区间I上:曲线弧段位于相

2、应的弦线上方时,称之为凸的;曲线弧段位于相应的弦线下方时,称之为凹的.凸凹成立,则称曲线在区间I上是凸的;成立,则称曲线在区间I上是凹的.定义凹凸性的一般性定义是……凸凹成立,则称曲线在区间I上是凸的;成立,则称曲线在区间I上是凹的;1.曲线凹凸性的定义及其判别法例1分析有何体会？能不能根据函数的二阶导数的符号来判别函数所对应的曲线的凸凹性呢？判别可微函数的凸凹性主要是对进行比较.有什么公式能把以上的函数值与函数的二阶导数联系在一起呢?泰勒公式以上的讨论是对开区间进行的,但结论却出现了闭区间这正确吗?结论是正确的,我们是利用函数的连续性将开区间

3、内的结论延伸到了闭区间上.以上过程实际上证明了下面的判别曲线凹凸性的一个方法.定理在运用该定理时要注意：但仅在个别孤立点处等于零,则定理仍然成立.该函数的图形请自己绘出.例2解例3解只是使的孤立点,不是曲线凹凸性的分界点.例3解比较例3和例4,发现使得曲线所对的分界点.我们的兴趣,因为它可能是曲线凹凸性应的函数的二阶导数等于零的点引起了拐点连续曲线上凸弧与凹弧度分界点,称为曲线的拐点.2.曲线拐点的定义及判别法定理(判别拐点的必要条件)证称为曲线的拐点可疑点.定理(判别拐点的充分条件)根据拐点的定义立即可证明该定理.定理(判别拐点的充分条件)证

4、你能由以上的几个定理归纳出求曲线拐点的步骤吗？求拐点一般步骤拐点拐点例4解例5解例6解例7函数的凹凸性的判别以及函数的极值的判别都与函数的二阶导数有关.你清楚它们之间的联系吗?画画图就能搞清楚.现在我们还不能很好地作出函数的图形,因为还不知道如何求曲线的渐近线.中学就会求了.若动点P沿着曲线y=f(x)的某一方向无限远离坐标原点时,动点P到一直线L的距离趋于零,则称此直线L为曲线y=f(x)的一条渐近线.二、曲线的渐近线定义曲线的渐近线水平渐近线垂直渐近线斜渐近线水平渐近线这里的极限可以是垂直渐近线想想：怎么求a,b?这里的极限过程可以是以上的

5、极限实际是斜渐近线曲线可以穿过其渐近线.例8解例9解曲线无水平渐近线(函数间断)曲线有斜渐近线吗？例10解请同学课后自己绘出此函数的图形.所以,该曲线无水平渐近线和垂直渐近线.例11解现在给定一个函数,我们可以讨论它的：定义域、值域、奇偶性、有界性、周期性、连续性、间断点、可微性、单调性、极值、最值、凹凸性、拐点、渐近线、零点位置.用极限讨论函数的变化趋势.用泰勒公式将函数离散化.作函数图形的一般步骤如下：(1)确定函数的定义域,观察奇偶性、周期性.(2)求函数的一、二阶导数,(3)列表,确定函数的单调性、凹凸性、极值、拐点.(4)求曲线的渐近

6、线.(5)作出函数的图形.三、函数图形的描绘确定极值可疑点和拐点可疑点.例12解极大拐点曲线无水平渐近线.