空间解析几何简介ppt课件.ppt

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1、空间解析几何简介向量及其线性运算数量积向量积*混合积空间平面及其方程空间直线及其方程二次曲线及其方程二次曲面及其方程数量关系—第一部分向量第二部分空间解析几何在三维空间中:空间形式—点,线,面基本方法—坐标法;向量法坐标,方程（组）空间解析几何四、利用坐标作向量的线性运算第一节一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影向量及其线性运算表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量向径(矢径):自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为1的向量,零向量:模为

2、0的向量,有向线段M1M2,或a,规定:零向量与任何向量平行;若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,a∥b;与a的模相同,但方向相反的向量称为a的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面.记作－a;二、向量的线性运算1.向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.2.向量的减法三角不等式3.向量与数的乘法是一个数,规定:可见与a的乘积是一个新向量,记

3、作总之:运算律:结合律分配律因此ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.坐标原点坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z轴(竖轴)过空间一定点o,坐标面卦限(八个)zox面1.空间直角坐标系的基本概念Ⅰ向径在直角坐标系下坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点M特殊点的坐标:有序数组(称为点M的坐标)原点O(0,0,0);坐标轴:坐标面:2.向量的坐标表示在空间直角坐标系下,则沿三个坐标轴方向的分向量.设点M的坐标为此式称为向量r的坐标分解式,任意向量r可用向径OM表示.四、利用坐标作向量的线性运算设则平行向

4、量对应坐标成比例:五、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与2.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称=∠AOB(0≤≤)为向量的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角,,为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.记作方向余弦的性质:*三、向量的混合积第二节一、两向量的内积二、两向量的向量积数量积向量积*混合积一、两向量的内积沿与力夹角为的直线移动,1.定义设向量的夹角为,称记作内积(点积，数量积).引例.设一物体在常力F作用下,位移为s,则力F所做的功为

5、记作故2.性质为两个非零向量,则有3.运算律(1)交换律(2)结合律(3)分配律事实上,当时,显然成立;4.数量积的坐标表示设则当为非零向量时,由于两向量的夹角公式,得例2.已知三点AMB.解:则求故为).求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体密度例3.设均匀流速为的流体流过一个面积为A的平面域,与该平面域的单位垂直向量解:单位时间内流过的体积的夹角为且为单位向量二、两向量的向量积引例.设O为杠杆L的支点,有一个与杠杆夹角为符合右手规则矩是一个向量M:的力F作用在杠杆的P点上,则力F作用在杠杆上的力1.定义定义向量方向:(叉积)记作且符合右手

6、规则模:向量积,称引例中的力矩思考:右图三角形面积S＝2.性质为非零向量,则∥∥3.运算律(2)分配律(3)结合律证明:4.向量积的行列式计算法例4.已知三点角形ABC的面积解:如图所示,求三一点M的线速度例5.设刚体以等角速度绕l轴旋转,导出刚体上的表示式.解:在轴l上引进一个角速度向量使其在l上任取一点O,作它与则点M离开转轴的距离且符合右手法则的夹角为,方向与旋转方向符合右手法则,向径*三、向量的混合积1.定义已知三向量称数量混合积.记作几何意义为棱作平行六面体,底面积高故平行六面体体积为则其2.混合积的坐标表示设3.性质(1)三个非零向量

7、共面的充要条件是(2)轮换对称性:(可用三阶行列式推出)例6.已知一四面体的顶点4),求该四面体体积.解:已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的故例7.证明四点共面.解:因故A,B,C,D四点共面.内容小结设1.向量运算加减:数乘:点积:叉积:混合积:2.向量关系:第三节一、平面的方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角平面及其方程定义：设是中一个平面，定义如上，则中与二维子空间正交的非零向量称为平面的法向量；平面的所有法向量添上零向量组成的一个一维子空间，中以平面的法向量为方向向量的直线称为平面的法线。设在中给定一个平面，采用线性代数的术语来描

8、述平面，是中的一个集合，则集合是中的一个二维线性子空间。反之，给了中一个二维子空