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1、第六节空间向量及其运算1.空间向量的有关概念大小方向长度模起点10相同相等相反模∠AOB〈a,b〉a⊥ba∥b互相平行重合共线向量平行向量平面垂直于平行2.空间向量的加、减、数乘运算空间向量的加、减、数乘运算是平面向量运算的推广．如图，设a,b是空间任意两向量，若=a,=b，P∈OC，(1)加法：=____，(2)减法：=____,(3)数乘：=____(λ∈R).a+ba-bλa(4)空间向量加法、数乘运算满足的运算律①交换律：a+b=____，②结合律：(a+b)+c=________，λ(μa)=________(λ∈R,μ∈R)，③分配律：λ(a+b)=_____
2、___(λ∈R).b+aa+(b+c)(λμ)aλa+λb3.共线向量定理与共面向量定理(1)共线向量定理空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得______.(2)共面向量定理如果两个向量a，b_______，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使__________.a=λb不共线p=xa+yb4.空间向量的数量积(1)定义：a·b=_________________.(2)运算律①交换律：a·b=_____；②分配律：a·(b+c)=__________；③λ(a·b)=_________(λ∈R).
3、a
4、
5、b
6、
7、cos〈a,b〉b·aa·b+a·c(λa)·b(3)常用结论①
8、a
9、=_____；②a⊥b_______；③cos〈a,b〉=(a≠0,b≠0).a·b=0判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)空间中任意两非零向量a,b共面.()(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c=a·(b·c).()(3)对于非零向量b,由a·b=b·c,则a=c.()(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.()【解析】(1)正确.由于向量可平移，因此空间任意两向量都可平移到同一起点，故空间任意两向量共面.(2)错误.因为两个向量的数量积的结果是数量而不是向量，(
10、a·b)·c=λc,a·(b·c)=μa,故(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等.(3)错误.根据向量数量积的几何意义，a·b=b·c说明a在b方向上的射影与c在b方向上的射影相等，而不是a=c.(4)错误.两向量夹角的范围是［0，π］，两异面直线所成角的范围是(0，］答案：(1)√(2)×(3)×(4)×1.下列命题为真命题的是()(A)分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量是不共面向量(B)若
11、a
12、=
13、b
14、,则a,b的长度相等而方向相同或相反(C)若向量满足且同向,则(D)若两个非零向量满足则∥【解析】选D.选项A错,因为空间任两向量平移之后
15、可共面,所以空间任两向量均共面.选项B错,因为
16、a
17、=
18、b
19、仅表示a与b的模相等,与方向无关.选项C错,空间任两向量不研究大小关系,因此也就没有这种写法.选项D对,∴共线,故∥正确.2.有4个命题：①若p＝xa+yb,则p与a，b共面；②若p与a，b共面，则p＝xa+yb;③若则P，M，A，B共面；④若点P，M，A，B共面，则其中真命题的个数是()(A)1(B)2(C)3(D)4【解析】选B.①正确，②中若a,b共线，p与a不共线，则p=xa+yb就不成立，③正确，④中若M，A，B共线，点P不在此直线上，则不正确.3.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若则λ的值等于__
20、______.【解析】∴答案：4.若则下列结论中正确的序号是________.①O,P,A,B四点一定共线；②P,A,B共线；③P,A,B不共线；④O,P,A,B不共面.【解析】∵∴∴∴A,B,P三点共线.答案：②考向1空间向量的线性运算【典例1】(1)若P为平行四边形ABCD所在平面外的一点,且G为△PCD的重心,若则x+y+z的值为_______.(2)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a,b,c表示以下各向量：①②③【思路点拨】(1)先将进行分解，求出x，y，z的值，再求x+y+z的值.(2)用已
21、知向量表示未知向量时，在转化时要结合向量的线性运算.【规范解答】(1)如图,∵G是△PCD的重心,∴(H为CD的中点),∴答案：(2)①∵P是C1D1的中点，∴＝②∵N是BC的中点，∴③∵M是AA1的中点，∴又∴=【互动探究】在本例题(2)中，若O为底面ABCD对角线AC与BD的交点，试用a,b,c表示向量【解析】＝＝＝【拓展提升】空间向量线性运算的方法及说明【提醒】(1)进行向量的加法运算时，若用三角形法则，必须使两向量首尾相接；若用平行四边形法则，必须使两向量共起点．(2)进行向量减法时，必须使两向量共起点．【变式备选】如
